Cara Menentukan Interval Fungsi Naik dan Fungsi Turun

Interval fungsi naik terdapat pada nilai ordinat bergerak ke atas saat nilai absis bergerak ke kanan. Interval fungsi turun terdapat pada nilai ordinat bergerak ke bawah saat saat nilai absis bergerak ke kanan. Daerah atau interval fungsi naik dan turun dapat dicari menggunakan syarat fungsi naik dan fungsi turun. Syarat tersebut terdapat dalam sebuah teorema yang dikenal dengan nama teorema kemonotonan.

Contoh kurva yang memuat fungsi naik dan turun terdapat pada fungsi y = x². Pada persamaan fungsi tersebut, nilai ordinat y beregerak ke bawah pada selang interval absis –∞ < x <0. Sebaliknya, nilai ordinat (y) bergerak ke atas pada selang interval absis 0 < x < ∞. Kesimpulannya, fungsi turun terdapat pada interval –∞ < x <0 dan fungsi naik terdapat pada interval 0 < x < ∞.

Baca Juga: Turunan Suatu Fungsi & Teorema Fungsi Turunan

Bagaimana cara menentukan interval fungsi naik dan fungsi turun? Apa syarat fungsi naik dan fungsi turun? Sobat idschool dapat mencari tahu caranya melalui ulasan di bawah.

Table of Contents

• Definisi Fungsi Naik Fungsi Turun
• Syarat Fungsi Naik dan Fungsi Turun
• Contoh Soal dan Pembahasan
  • Contoh 1 – Soal Menentukan Interval Fungsi Turun
  • Contoh 2 – Soal Menentukan Interval Fungsi Naik dan Fungsi Turun

Definisi Fungsi Naik Fungsi Turun

Persamaan suatu fungsi yang digambarkan dalam bidang koordinat dapat memiliki dua karakteristik yaitu fungsi naik dan fungsi turun. Suatu fungsi dikatakan naik jika absis (x) bergerak ke kanan maka grafik fungsi tersebut bergerak ke atas. Sedangkan fungsi dikatakan turun jika absis (x) bergerak ke kanan maka grafik fungsi tersebut bergerak ke bawah.

Antara fungsi naik dan fungsi turun dipisahkan oleh sebuah sebuah selang atau titik konstan. Selang atau titik konstan tersebut dapat berupa titik ekstrim atau titik stasioner, baik untuk nilai maksimum atau minimum. Ada empat titik stasioner yang dapat termuat dalam suatu kurva yaitu maksimum lokal, maksimum global, minimum lokal, dan minimum global.

Kesimpulan dari fungsi naik dan fungsi turun diberiakn seperti definisi berikut.

• Suatu fungsi f dikatakan fungsi naik pada suatu selang jika untuk sembarang dua bilangan x₁ dan x₂ dalam selang tersebut, x₁ < x₂ mengakibatkan f(x₁) < f(x₂).

• Suatu fungsi f dikatakan fungsi turun pada suatu selang jika untuk sembarang dua bilangan x₁ dan x₂ dalam selang tersebut, x₁ < x₂ mengakibatkan f(x₁) > f(x₂).

Beberapa fungsi akan selalu naik atau dapat juga selalu turun. Contoh fungsi yang selalu naik adalah y = 2^x, sedangkan contoh fungsi yang selalu turun adalah y = 2^–x.

Beberapa fungsi lain dapat naik pada selang tertentu dan turun pada selang yang lainnya. Untuk contoh fungsi yang memiliki fungsi naik dan turun pada selang tertentu terdapat pada y = x² (fungsi kuadrat).

Baca Juga: Turunan Fungsi Trigonometri

Syarat Fungsi Naik dan Fungsi Turun

Cara menentukan interval fungsi naik dan fungsi turun dapat melalui sebuah teorema kemonotonan. Teorema kemonotonan memuat hubungan antara turunan fungsi f(x) dan kriteria kurva atau fungsi, apakah naik atau turun. Pada teorema tersebut memuat syarat bagaimana suatu fungsi naik dan bagaimana syarat fungsi turun.

Dari teorema di atas dapat diperoleh dua kesimpulan. Pertama, hasil turunan positif (f’(x) > 0) akan mengakibatkan suatu fungsi naik. Kedua, hasil turunan negatif (f’(x) < 0) akan mengakibatkan fungsi tersebut turun. Selanjutnya, perhatikan penggunaan teorema tersebut untuk menyelesaikan contoh soal sederhana berikut.

Soal 1:
Diketahui fungsi f(x) = −x² − 4x + 12, interval f(x) naik dan interval f(x) turun terdapat pada ….

Jawab:
Diketahui fungsi f(x) = −x² − 4x + 12 sehingga turunan pertama fungsi f(x) adalah f ‘(x) = −2x − 4.

• Syarat fungsi f(x) naik: f ‘(x) > 0
  −2x − 4 > 0
  −2x > −4
  x < ⁻⁴/₋₂
  x < 2

• Syarat fungsi f(x) turun: f ‘(x) < 0
  −2x − 4 < 0
  −2x < −4
  x > ⁻⁴/₋₂
  x > 2

• Jadi, fungsi f(x) naik pada interval x > 2 dan f(x) turun pada interval x < 2.

Baca Juga: Aplikasi Turunan – Mencari Luas Minimum/Maksimum Suatu Daerah

Dua kemampuan yang sangat dibutuhkan untuk menentukan interval fungsi naik dan fungsi turun. Pertama adalah kemampuan untuk menentukan hasil turunan suatu fungsi f(x). Kedua adalah kemampuan untuk menentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan suatu fungsi.

Dua kemampuan tersebut akan sangat membantu sobat idschool dalam menyelesaikan berbagai tipe soal fungsi naik dan turun. Selanjutnya, sobat idschool dapat melihat beberapa tipe soal fungsi naik dan fungsi turun pada contoh soal dan pembahasannya di bawah.

Contoh Soal dan Pembahasan

Beberapa contoh soal fungsi naik dan fungsi turun di bawah dapat sobat idschool gunakan sebagai latihan untuk menambah pemahaman materi di atas. Setiap contoh soal yang diberikan disertai pembahasannya. Sobat idschool dapat menggunakan pembahasan tersebut sebagai tolak ukur keberhasilan mengerjakan soal. Selamat berlatih!

Contoh 1 – Soal Menentukan Interval Fungsi Turun

Fungsi f(x) = (x + 2)(x² – 5x + 1) turun pada interval ….
A. –3 < x < 1
B. –1 < x < 3
C. –3 < x < 3
D. x < –3 atau x > 1
E. x < –1 atau x > 3

Pembahasan:
Berdasarkan informasi pada soal diketahui fungsi f(x) = (x + 2)(x² – 5x + 1). Turunan fungsi f(x) dengan bentuk tersebut akan lebih mudah ditentukan melalui aturan turunan hasil kali dua fungsi.

• Diketahui: f(x) = (x + 2)(x² – 5x + 1)
• Misalkan:
  u = x + 2 → du = 1 dx
  v = x² – 5x + 1 → du = 2x – 5 dx

Menentukan turunan pertama fungsi f(x):
f’(x) = ^du/_dx · v + ^dv/_dx · u
f’(x) = 1 · (x² – 5x + 1) + (2x – 5)(x + 2)
= x² – 5x + 1 + 2x² + 4x – 5x – 10
= 3x² – 6x – 9

Syarat fungsi turun dipenuhi saat f’(x) < 0, sehingga dapat dibentuk sebuah pertidaksamaan 3x² – 6x – 9 < 0. Harga nol untuk turunan pertama fungsi f(x) akan menghasilkan dua nilai x berikut.

f’(x) = 0
3x² – 6x – 9 = 0
x² – 2x – 3 = 0
(x – 3)(x + 1) = 0
x₁ = 3 atau x₂ = –1

Uji nilai pada daerah-daerah yang dipisahkan oleh x₁ = 3 dan x₂ = –1 pada sebuah garis bilangan.

Untuk mendapatkan interval turun, akan dicari daerah yang menghasilkan nilai kurang dari 0 atau daerah dengan nilai negatif. Berdasarkan uji nilai seperti pada garis bilangan di atas dapat diperoleh bahwa daerah dengan nilai negatif terdapat pada selang interval –1 < x < 3.

Jadi, fungsi f(x) = (x + 2)(x² – 5x + 1) turun pada interval –1 < x < 3.

Jawaban: B

Contoh 2 – Soal Menentukan Interval Fungsi Naik dan Fungsi Turun

Fungsi f(x) = 2x³ – 9x² + 12x akan naik pada interval ….
A. x < –2 atau x > –1
B. –2 < x < –1
C. –1 < x < 2
D. 1 < x < 2
E. x < 1 atau x > 2

Pembahasan:
Langkah pertama yang perlu dilakukan adalah menentukan hasil turunan pertama fungsi f(x) seperti berikut.

Turunan fungsi f(x):
f’(x) = 3 · 2x^3–1 – 2 · 9x^2–1 + 1 · 12x^1–1
f’(x) = 6x² – 18x + 12

Syarat fungsi f(x) naik:
f’(x) > 0
6x² – 18x + 12 > 0

Selanjutnya adalah mencari himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 6x² – 18x + 12 > 0. Di mana titik-titik konstan dapat dicari tahu seperti penyelesaian berikut.

6x² – 18x + 12 = 0
x² – 3x + 2 = 0
(x – 2)(x – 1) = 0
x₁ = 2 atau x₂ = 1

Garis bilangan dan daerah yang memenuhi pertidaksamaan 6x² – 18x + 12 > 0:

Jadi, fungsi f(x) = 2x³ – 9x² + 12x akan naik pada interval x < 1 atau x > 2.

Jawaban: E

Demikianlah tadi ulasan cara menentukan interval fungsi naik dan fungsi turun pada suatu fungsi. Terima kasih sudah mengunjungi idschool(dot)net, semoga bermanfaat!

Baca Juga: Turunan Hasil Kali dan Hasil Bagi Dua Fungsi