Pertidaksamaan Kuadrat dan Himpunan Penyelesaiannya

Pertidaksamaan kuadrat ditandai dengan pengunaan tanda pertidaksamaan seperti lebih dari (>), lebih dari sama dengan (≥), kurang dari. atau kurang dari sama dengan (≤). Di mana variabel pada pertidaksamaan kuadrat memiliki pangkat tertinggi sama dengan dua. Solusi dari suatu pertidaksamaan kuadrat berupa suatu himpunan penyelesaian. Cara menentukan himpunan penyelesaian diawali dengan menentukan akar-akar dari harga nol dari pertidaksamaan yang akan diselesaikan. Selanjutnya dilakukan pengujian daerah dan menentukan himpunan penyelesaiannya.

Secara ringkas, cara menentukan himpunan penyelesaian dari suatu pertidaksamaan kuadrat dilakukan melalui langkah-langkah berikut.

Langkah-langkah menentukan pertidaksamaan kuadrat

Bagaimana bentuk pertidaksamaan kuadrat? Bagaimana cara menentukan himpunan penyelesaiannya? Sobat idschool dapat mencari tahu jawabannya melalui ulasan di bawah,

Table of Contents

Bentuk Umum Pertidaksamaan Kuadrat

Pertidaksamaan dan persamaan kuadrat memiliki bentuk umum yang hampir sama. Perbedaan antara pertidaksamaan dan persamaan kuadrat hanya terletak pada tanda penghubung antara ruas kanan dan ruas kiri. Pada persamaan kuadrat menggunakan tanda hubung sama dengan, sedangkan pertidaksamaan kuadrat menggunakan tanda lebih besar/kecil atau lebih besar/kecil sama dengan.

Bentuk Umum Pertidaksamaan Kuadrat

Baca Juga: Cara Menentukan Persamaan Grafik Fungsi Kuadrat dari Gambar

Menentukan Akar-Akar Pertidaksamaan Kuadrat

Langkah pertama untuk menentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat adalah menentukan akar-akar pertidaksamaan kuadrat. Pada bagian awal telah disinggung bahwa cara menentukan akar-akar pertidaksamaan kuadrat sama dengan cara menentukan akar-akar persamaan kuadrat. Perbedaannya hanya dengan mengambil harga nol dari soal pertidaksamaan kuadrat yang diberikan.

Cara mengambil nilai nol dari pertidaksamaan kuadrat hanya dengan cara mengganti tanda pertidaksamaan menjadi tanda sama dengan. Sehingga diperoleh bentuk sementara berupa persamaan kuadrat. Sebagai contoh, perhatikan cara mengambil harga nol dari pertidaksamaan berikut ini.

Harga Nol

Dengan mengambil nilai nol, sobat idschool akan mendapatkan persamaan kuadrat. Selanjutnya, cari akar-akar yang memenuhi persamaan kuadrat tersebut. Cara menentukan akar-akar persamaan kuadrat dapat menggunakan metode pemfaktoran, rumus abc, atau metode melengkapkan kuadrat sempurna.

Setelah mendapatkan akar-akar persamaan kuadrat yang memenuhi. Buatlah garis bilangan dan menentukan nilai pada masing-masing daerah. Nilai yang dimaksud di sini dapat berupa nilai positif (+) atau negatif (–).

Simak ulasan lebih lengkap mengenai garis bilangan dan cara menentukan tanda pada masing-masing daerah pada pembahasan di bawah.

Batas pada Garis Bilangan dan Cara Menentukan Tanda pada Masing-Masing Daerah

Misalkan nilai akar – akar yang diperoleh dari perhitungan sebelumnya adalah a dan b. Maka garis bilangan yang dapat dibentuk dapat dilihat seperti gambar di bawah.

Garis bilangan pada pertidaksamaan kuadrat

Setelah dapat membentuk daerah garis bilangan seperti pada gambar di atas, berikutnya adalah menentukan nilai pada masing-masing daerah. Caranya adalah dengan mengambil satu titik uji pada suatu daerah.

TIPS:
untuk mempermudah perhitungan ambil titik uji x = 0

Hasil dari titik uji menunjukkan nilai yang mewakili keseluruhan daerah tersebut. Untuk daerah yang lain, biasanya akan bergantian. Maksudnya, jika hasil titik uji menghasilkan daerah positif maka daerah sebelahnya adalah kebalikannya. Begitu juga dengan kondisi sebaliknya.

Cara menentukan tanda pada daerah pertidaksamaan kuadrat

Namun terdapat pengecualian ketika ada akar kembar hasil dari penentuan akar-akar persamaan kuadrat. Tandanya mengikuti daerah sebelahnya. Perhatikan ilustrasi pada gambar di bawah.

Cara menentukan tanda pada daerah garis bilangan

Baca Juga: Persamaan dan Pertidaksamaan Linear Satu Variabel

Menentukan Himpunan Penyelesaian Pertidaksamaan Kuadrat

Hasil dari daerah yang memenuhi pertidaksamaan kuadrat biasanya disajikan dalam bentuk himpunan. Pada bagian ini, sobat idschool akan mempelajari cara menentukan notasi himpunan dari garis bilangan. Berikut ini adalah tabel cara membaca himpunan penyelesaian dari garis bilangan yang diberikan secara umum.

Himpunan Penyelesaian Pertidaksamaan Kuadrat

Baca Juga: Pemfaktoran Persamaan Kuadrat dengan TRIK KUCING!!!

Contoh Soal dan Pembahasan

Beberapa contoh soal di bawah dapat sobat idschool gunakan untuk menambah pemahaman bahasan di atas. Setiap contoh soal yang diberikan dilengkapi dengan pembahasannya. Sobat idschool dapat menggunakan pembahasan tersebut sebagai tolak ukur keberhasilan mengerjakan soal. Selamat Berlatih!

Contoh 1 – Soal Pertidaksamaan Kuadrat

Himpunan penyelesaian yang memenuhi pertidaksamaan kuadrat x2 – x – 12 ≥ 0 adalah ….
A. { x ≤ -3}
B. { x ≤ 4}
C. { x ≤ -3 atau x ≥ 4}
D. {x ≤ -3}
E. { -3 ≤ x ≤ 4}

Pembahasan:
Harga nol dari pertidaksamaan kuadrat x2 – x – 12 ≥ 0 adalah x2 – x – 12 = 0. Selanjutnya akan ditentukan akar-akar persamaan kuadrat yang memenuhi.

Menentukan akar-akar persamaan kuadrat:
x2 – x – 12 = 0
(x + 3)(x – 4) = 0
(x + 3) = 0 atau (x – 4) = 0
x = -3 atau x = 4

Diperoleh nilai x yang memenuhi yaitu x = -3 atau x = 4, kedua nilai tersebut akan membatasi garis bilangan menjadi tiga daerah. Tiga daerah pada garis bilangan dengan batas nilai x = -3 dan x = 4 sesuai seperti gambar garis bilangan berikut.

Garis Bilangan

Baca Juga: pemfaktoran bentuk aljabar untuk menentukan akar-akar persamaan kuadrat

Selanjutnya, akan diselidiki nilai dari masing – masing daerah. Ambil titik uji x = 0, kemudian substitusikan nilainya ke persamaan kuadrat

untuk x = 0
maka nilai dari persamaan kuadrat menjadi 02 – 0 – 12 = -12
Sehingga, untuk x = 0 menghasilkan nilai negatif yang berarti daerah yang memuat angka nol memiliki daerah yang bernilai negatif.

Contoh soal pertidaksamaan kuadrat

Pertidaksamaan kuadrat yang diberikan adalah x2 – x – 12 = 0, artinya himpunan penyelesaian dipenuhi untuk daerah yang bernilai positif.

Contoh soal cara menentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah x ≤ – 3 atau x ≥ 4.

Jawaban: C

Baca Juga: Pertidaksamaan Nilai Mutlak

Contoh 2: Soal Pertidaksamaan Kuadrat

Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan x2 – 5x – 14 ≤ 0, x ϵ R adalah ….
A. { x | x < 2 atau x > 7, x ϵ R
B. { x | x < -2 atau x > 7, x ϵ R}
C. { x | x < -7 atau x > -7, x ϵ R }
D. { x | -2 < x < 7, x ϵ R}
E. { x | – 2 ≤ x ≤ 7, x ϵ R}

Pembahasan:
Harga nol sari x2 – 5x – 14 ≤ 0 adalah x2 – 5x – 14 = 0, selanjutnya akan dicari akar – akar persamaan kuadrat tersebut.

Menentukan akar-akar persamaan kuadrat:
x2 – 5x – 14 = 0
( x – 7)(x + 2) = 0
(x – 7) = 0 atau (x + 2) = 0
x = 7 atau x = – 2

Berdasarkan hasil di atas, dapat dibentuk batas daerah dalam garis bilangan seperti gambar di bawah.

Garis Bilangan Pertidaksamaan Kuadrat

Selanjutnya, akan diselidiki nilai dari masing-masing daerah. Ambil titik uji x = 0, kemudian substitusikan nilainya ke persamaan kuadrat.

Untuk x = 0 maka pada persamaan x2 – 5x – 14 memiliki nilai 02 – 5(0) – 14 = = -14 . Untuk x = 0 menghasilkan nilai negatif, sehingga daerah yang memuat angka nol, daerahnya adalah negatif.

Titik Uji Pertidaksamaan Kuadrat

Pertidaksamaan kuadrat yang diberikan adalah x2 – 5x – 14 ≤ 0, artinya himpunan penyelesaian dipenuhi untuk daerah yang bernilai negatif.

Himpunan Penyelesaian pada Garis Bilangan

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah -2 ≤ x ≤ 7.

Jawaban: E

Demikianlah tadi ulasan materi tentang pertidaksamaan kuadrat yang meliputi ulasan bentuk umum pertidaksamaan kuadrart sampai dengan cara menentukan himpunan penyelesaiannya. Terimakasih sudah mengunjungi idschool(dot)net, semoga bermanfaat.

Baca Juga: Cara Menentukan Persamaan Kuadrat Baru

7 comments

    1. Halo Aryo, nilai akar-akar yang diperoleh positif tidak menunjukkan bahwa daerah yang memenuhi di sebelah kanan. Setelah mendapatkan nilai x1 dan x2 kamu akan mendapatkan daerah-daerah yang dipisah oleh titik tersebut. Selanjutnya, kamu perlu melakukan uji daerah tersebut termasuk daerah yang menghasilkan nilai positif atau negatif terlebih dahulu. Himpunan penyelesaian diambil setelah melakukan uji daerah, sesuai yang disyaratkan.

  1. Kak mau tanya, cara menentukan lebih besar dan lebih kecil suatu himpunan penyelesaian itu gimana ya?

    1. Halo Aura, kamu perlu melakukan uji daerah tersebut termasuk daerah yang menghasilkan nilai positi atau negatif terlebih dahulu. Setelah itu, himpunan penyelesaian dapat diperoleh dari sana.

Leave a Reply

Your email address will not be published.

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.