Aplikasi Integral untuk Menghitung Volume Benda Putar

By | May 18, 2017

Penerapan atau aplikasi integral dapat digunakan untuk menghitung luas daerah yang tidak beraturan, misalnya daerah yang dibatasi oleh suatu kurva. Luas daerah yang dibatasi kurva jika diputar 360o akan membentuk suatu bangun ruang yang disebut volume benda putar. Besar volume benda putar dari bangun yang dibentuk juga dapat dihitung menggunakan integral. Volume benda putar dapat diperoleh dengan memutar suatu luas yang dibatasi oleh kurva terhadap sumbu-x, sumbu-y, atau terhadap suatu garis.

Dalam menentukan besar volume benda putar, sobat idschool perlu memperhatikan beberapa hal. Pertama adalah batas integral yang biasanya ditentukan atau merupakan perpotongan dari kurva. Kedua adalah poros atau sumbu putar; apakah terhadap sumbu-x, sumbu-y, atau suatu garis. Sumbu putar akan mempengaruhi persamaan yang akan digunakan pada proses perhitungan. Jika kurva y = f(x) diputar terhadap sumbu-x maka perhitungan menggunakan persamaan f(x). Namun, jika y = f(x) diputar terhadap sumbu-y maka perhitungan menggunakan persamaan f(y).

Bagaimana cara menghitung volume benda putar yang mengelilingi sumbu x? Bagaimana cara menghitung volume benda putar yang mengelilingi sumbu y? Sobat idschool dapat mencari tahu jawabannya melalui ulasan di bawah.

Baca Juga: Teknik Mengerjakan Integral Substitusi

Volume Benda Putar Mengelilingi Sumbu-x

Volume benda putar yang diputar mengelilingi sumbu x dibagi menjadi dua kondisi. Kondisi pertama adalah volume benda putar yang dibatasi sebuah kurva pada suatu batas tertentu. Sedangkan kondisi kedua adalah volume benda putar yang dibatasi dua buah kurva. Rumus volume benda putar dari kedua kondisi ini berbeda karena kurva yang membentuk bangun juga berbeda. Persamaan yang dapat digunakan untuk menghtiung volume dengan dua kondisi tersebut diberikan sperti pada dua rumus di bawah.

Volume benda putar pada interval a ≤ x ≤ b yang diputar mengelilingi sumbu x yang dibatasi oleh kurva y = f(x)

Volume benda putar pada interval a ≤ x ≤ b yang diputar mengelilingi sumbu x dan dibatasi kurva f(x) dan g(x).

Baca Juga: Integral Fungsi Trigonometri

Volume Benda Putar Mengelilingi Sumbu-y

Seperti halnya volume benda putar yang diputar mengelilingi sumbu x, volume benda putar yang diputar mengelilingi sumbu y juga dibedakan menjadi dua jenis kondisi. Pertama, kondisi di mana volume yang terbentuk dibatasi sebuah kurva dan diputar mengelilingi sumbu y dengan suatu batas tertentu. Kondisi kedua adalah volume benda putar yang dibatasi dua buah kurva dan diputar mengelilingi sumbu y pada suatu batas tertentu.

Volume benda putar pada interval c ≤ x ≤ d yang diputar mengelilingi sumbu y dan dibatasi oleh kurva y = f(x).

Volume benda putar pada interval c ≤ x ≤ d yang diputar mengelilingi sumbu y dan dibatasi kurva f(x) dan g(x)

Volume Benda Putar Terhadap Sumbu y yang Dibatasi Dua Kurva

Baca Juga: Metode-Metode untuk Menyelesaikan Berbagai Bentuk/Tipe Integral

Selanjutnya, sobat idschool dapat mencari tahu bagaimana penggunaan rumus volume benda putar dalam menentukan besar volume suatu bangun yang dibatasi oleh kurva melalui beberapa soal berikut.

Contoh Soal dan Pembahasan

Beberapa contoh soal di bawah dapat sobat idschool gunakan untuk menambah pemahaman bahasan di atas. Setiap contoh soal yang diberikan dilengkapi dengan pembahasannya. Sobat idshcool dapat menggunakan pembahasan tersebut sebagai tolak ukur keberhasilan mengerjakan soal. Selamat Berlatih!

Contoh 1 Soal Volume Benda Putar

Volume benda putar terbentuk dari daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 dan y = –x2 + 6x dan diputar terhadap sumbu x. Volume benda putar tersebut adalah ….
A. 729π satuan volume
B. 243π satuan volume
C. 81π satuan volume
D. 27π satuan volume
E. 9π satuan volume

Pembahasan:

Untuk menyelesaikan soal diatas, yang perlu kita lakukan adalah membuat sketsa grafik dari kedua persamaan untuk mengetahui batas pengintegralan. Jika belum paham mengenai langkah-langkah menggambar grafik persamaan kuadrat bisa dipelajari dulu kembali. Sketsa gambar dari y = x2 dan y = –x2 + 6x adalah sebagai berikut.

contoh soal volume benda putar

Dari sketsa gambar dapar diperoleh bahwa perpotongan kedua kurva terdapat pada (0, 0) dan (3, 9). Volume dibentuk dengan memutar luas yang dibentuk kurva terhadap sumbu-x. Sehingga, batas integral yang digunakan berada pada titik-titik sumbu-x yaitu 0 dan 3. Jadi, batas integral dalam perhitungan volume adalah 0 sampai 3.

Menghitung volume daerah yang dibatasi kurva y = x2 dan y = –x2 + 6x dan diputar terhadap sumbu x.

Dengan menyelesaikan persamaan akhir V di atas akan diperoleh nilai volume benda putar Menghitung volume daerah yang dibatasi kurva y = x2 dan y = –x2 + 6x dan diputar terhadap sumbu x.


Jadi, volume benda putar terbentuk dari daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 dan y = –x2 + 6x dan diputar terhadap sumbu x adalah 81π satuan volume.

Jawaban: C

Contoh 2 Soal Volume Benda Putar

Volume benda putar jika daerah yang dibatasi kurva y = –x2 + 4 dan y = –2x + 4 diputar 360o mengelilingi sumbu y adalah ….
A. 8π satuan volume
B. 13/2π satuan volume
C. 4π satuan volume
D. 8/3π satuan volume
E. 5/4π satuan volume

Pembahasan:

Langkah pertama untuk menyelesaikan soal di atas adalah mengetahui batas integral yang dapat diketahui melalui daerah yang dibatasi oleh kedua kurva y = −x2 + 4 dan y = −2x + 4.

Pembahasan Soal Volume Benda Putar yang Dibatasi Sumbu y yang Dibatasi Dua Kurva

Kurva diputar mengelilingi sumbu y, sehingga perlu menentukan persamaan fungsi f(y) dan g(y).

Persamaan f(y) dan g(y)

Sehingga dapat diperoleh persamaan integral untuk menghitung volume benda putar yang dibatasi kurva y = –x2 + 4 dan y = –2x + 4 dan diputar 360o mengelilingi sumbu y seperti berikut.

Dengan menyelsaikan integral seperti pada persamaan terkahir yang diperoleh pada langkah di atas akan diperoleh nilai volume benda putarnya. Proses perhitungan tersebut dilakukan seperti langkah-langkah berikut.

Jadi, volume benda putar mengelilingi sumbu y yang dibatasi oleh kurva = –x2 + 4 dan y = –2x + 4 adalah 8/3π satuan volume.

Jawaban: D

Sekian pembahasan aplikasi integral yang digunakan untuk mencari volume benda putar. Terimakasih sudah mengunjungi idschool(dot)net, semoga bermanfaat.

Baca Juga: Rumus Dasar Integral

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.