Luas daerah yang dibatasi kurva dapat diputar 360o pada suatu sumbu dan menghasilkan suatu bangun ruang. Isi pada bangun ruang yang dibentuk dari putaran kurva tersebut terhadap suatu sumbu adalah volume bangun ruang. Nilai volume dari bangun ruang dari perputaran kurva pada suatu sumbu dapat diketahui dengan rumus fungsi integral tentu.
Pusat putaran kurva dari volume benda putar dapat berupa sumbu x, sumbu y, atau suatu garis lurus lainnya. Sumbu putar yang digunakan akan memengaruhi fungsi integral yang digunakan untuk menghitung volume.
Misalkan sebuah kurva memiliki persamaan f(x). Jika kurva f(x) diputar terhadap sumbu-x maka perhitungan volume menggunakan fungsi f(x). Jika y kurva f(x) diputar terhadap sumbu-y maka perhitungan menggunakan volume menggunakan fungsi invers dari f(x).
Ada dua hal penting yang perlu diperhatikan dalam menghitung volume benda putar yaitu arah sumbu putar dan batas integral. Bagaimana cara menghitung volume benda putar yang mengelilingi sumbu x? Bagaimana untuk volume dari benda putar yang mengelilingi sumbu y atau garis lainnya? Sobat idschool dapat mencari tahu jawabannya melalui ulasan di bawah.
Table of Contents
- Volume Benda Putar Mengelilingi Sumbu-x
- Volume Benda Putar Mengelilingi Sumbu-y
- Contoh Soal dan Pembahasan
Baca Juga: Teknik Mengerjakan Integral Substitusi
Volume Benda Putar Mengelilingi Sumbu-x
Volume benda putar yang diputar mengelilingi sumbu x dibagi menjadi dua kondisi. Kondisi pertama adalah volume dari benda putar yang dibatasi sebuah kurva pada suatu batas tertentu. Sedangkan kondisi kedua adalah volume benda putar yang dibatasi dua buah kurva.
Rumus volume dari kedua kondisi ini berbeda karena kurva yang membentuk bangun juga berbeda. Persamaan yang dapat digunakan untuk menghtiung volume dengan dua kondisi tersebut diberikan sperti pada dua rumus di bawah.
Volume benda putar pada interval a ≤ x ≤ b yang diputar mengelilingi sumbu x yang dibatasi oleh kurva y = f(x)
Volume benda putar pada interval a ≤ x ≤ b yang diputar mengelilingi sumbu x dan dibatasi kurva f(x) dan g(x).
Baca Juga: Integral Fungsi Trigonometri
Volume Benda Putar Mengelilingi Sumbu-y
Volume benda putar yang diputar mengelilingi sumbu y juga dibedakan menjadi dua jenis kondisi. Pertama, kondisi di mana volume yang terbentuk dibatasi sebuah kurva dan diputar mengelilingi sumbu y dengan suatu batas tertentu. Kondisi kedua adalah volume dari benda putar yang dibatasi dua buah kurva dan diputar mengelilingi sumbu y pada suatu batas tertentu.
Volume benda putar pada interval c ≤ x ≤ d yang diputar mengelilingi sumbu y dan dibatasi oleh kurva y = f(x).
Volume benda putar pada interval c ≤ x ≤ d yang diputar mengelilingi sumbu y dan dibatasi kurva f(x) dan g(x)
Baca Juga: Metode-Metode untuk Menyelesaikan Berbagai Bentuk/Tipe Integral
Contoh Soal dan Pembahasan
Beberapa contoh soal di bawah dapat sobat idschool gunakan untuk menambah pemahaman bahasan di atas. Setiap contoh soal yang diberikan dilengkapi dengan pembahasannya. Sobat idshcool dapat menggunakan pembahasan tersebut sebagai tolak ukur keberhasilan mengerjakan soal. Selamat Berlatih!
Contoh 1 Soal Volume Benda Putar
Volume benda putar terbentuk dari daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 dan y = –x2 + 6x dan diputar terhadap sumbu x. Volume benda tersebut adalah ….
A. 729π satuan volume
B. 243π satuan volume
C. 81π satuan volume
D. 27π satuan volume
E. 9π satuan volume
Pembahasan:
Untuk menyelesaikan soal diatas, yang perlu kita lakukan adalah membuat sketsa grafik dari kedua persamaan untuk mengetahui batas pengintegralan. Jika belum paham mengenai langkah-langkah menggambar grafik persamaan kuadrat bisa dipelajari dulu kembali. Sketsa gambar dari y = x2 dan y = –x2 + 6x adalah sebagai berikut.
Dari sketsa gambar dapar diperoleh bahwa perpotongan kedua kurva terdapat pada (0, 0) dan (3, 9). Volume dibentuk dengan memutar luas yang dibentuk kurva terhadap sumbu-x. Sehingga, batas integral yang digunakan berada pada titik-titik sumbu-x yaitu 0 dan 3. Jadi, batas integral dalam perhitungan volume adalah 0 sampai 3.
Menghitung volume daerah yang dibatasi kurva y = x2 dan y = –x2 + 6x dan diputar terhadap sumbu x.
Dengan menyelesaikan persamaan akhir V di atas akan diperoleh besar nilai volume daerah yang dibatasi kurva y = x2 dan y = –x2 + 6x dan diputar terhadap sumbu x.
Jadi, volume yang terbentuk dari daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 dan y = –x2 + 6x dan diputar terhadap sumbu x adalah 81π satuan volume.
Jawaban: C
Contoh 2 – Soal Aplikasi Intergal untuk Menghitung Volume
Volume dari daerah yang dibatasi kurva y = –x2 + 4 dan y = –2x + 4 diputar 360o mengelilingi sumbu y adalah ….
A. 8π satuan volume
B. 13/2π satuan volume
C. 4π satuan volume
D. 8/3π satuan volume
E. 5/4π satuan volume
Pembahasan:
Langkah pertama untuk menyelesaikan soal di atas adalah mengetahui batas integral yang dapat diketahui melalui daerah yang dibatasi oleh kedua kurva y = −x2 + 4 dan y = −2x + 4.
Kurva diputar mengelilingi sumbu y, sehingga perlu menentukan persamaan fungsi f(y) dan g(y).
Sehingga dapat diperoleh persamaan integral untuk menghitung volume benda putar yang dibatasi kurva y = –x2 + 4 dan y = –2x + 4 dan diputar 360o mengelilingi sumbu y seperti berikut.
Dengan menyelsaikan integral seperti pada persamaan terkahir yang diperoleh pada langkah di atas akan diperoleh nilai volume. Proses perhitungan tersebut dilakukan seperti langkah-langkah berikut.
Jadi, volume dengan batas kurva kurva y = –x2 + 4 dan y = –2x + 4 yang mengelilingi sumbu y adalah 8/3π satuan volume.
Jawaban: D
Sekian pembahasan aplikasi integral yang digunakan untuk mencari volume benda putar. Terimakasih sudah mengunjungi idschool(dot)net, semoga bermanfaat.
Baca Juga: Rumus Dasar Integral
