Materi Jarak pada Dimensi Tiga

By | July 5, 2017

Dimensi tiga merupakan pembahasan yang melibatkan bangun ruang. Pembahasan materi jarak pada dimensi tiga meliputi jarak antara unsur ruang. Unsur ruang pada dimensi tiga tersebut bisa berupa titik, garis, atau bidang. Di sini, idschool akan mengulas lebih jauh mengenai materi jarak pada dimensi tiga yang meliputi jarak titik ke titik, jarak titik ke garis, jarak titik kek bidang, jarak garis ke garis, jarak garis ke bidang, dan jarak bidang ke bidang.

Setiap pembahasan materi jarak pada dimensi tiga akan dilengkapi dengan contoh soal dan pembahasannya. Hal ini bertujuan agar sobat idschool dapat lebih memahami materi jarak pada dimensi tiga. Sebenarnya, kebanyakan cara untuk menyelesaikan soal dalam materi jarak pada dimensi tiga hanya menggunakan rumus dalam teorema pythagoras dan luas segitiga. Kuncinya adalah cermat mengamati posisi titik, garis, atau bidang.

Untuk ulasan materi jarak pada dimensi tiga yang akan pertama dibahas adalah jarak titik ke titik. Simak uraian di bawah.

 

Jarak Dua Titik

Jarak dua titik dinyatakan sebagai panjang garis yang menghubungkan kedua titik tersebut. Seperti yang telah diberitahukan sebelumnya, tidak ada rumus baru dalam mencari jarak titik ke titik pada dimensi tiga. Sobat idschool dapat mencari panjang jarak antara kedua titik menggunakan teorema phytagoras. Trik umum yang sering digunakan adalah cermat mengamati posisi kedua titik tersebut, buat garis bantu sehingga membentuk suatu bangun datar segitiga siku-siku. Sehingga, sobat idschool dapat menghitung panjang jarak titik ke titik menggunakan rumus:

    \[ c^2 = a^{2} + b^{2} \]

Di mana a dan b merupakan sisi tegak dan c merupakan sisi miring dari sebuah segitiga siku-siku.

Diketahui dua titik A dan B dengan koordinat berturut-turut adalah A(x_{1}, y_{1}, z_{1}) dan A(x_{2}, y_{2}, z_{2}). Jarak titik A dan B dapat dicari menggunakan rumus berikut.

    \[ \left| AB \right| = \sqrt{(x_{1} - x_{2})^{2} + (y_{1} - y_{2})^{2} + (z_{1} - z_{2})^{2}} \]

 

Contoh soal di bawah merupakan contoh soal dan pembahasan mencari jarak antara dua titik yang diketahui koordinatnya. Selain itu juga diberikan contoh soal mencari jarak titik ke titik yang terletak pada bangun ruang. Simak baik-baik kedua contoh soal dan pembahasan di bawah.

 
Contoh Soal dan Pembahasan Jarak Titik ke Titik
Tentukan jarak antara dua titik yang memiliki koordinat P(0, 7, 6) dan Q(5, 2, 1)!
Pembahasan:

    \[ \left| PQ \right| = \sqrt{0 - 5)^{2} + (7 - 2)^{2} + (6 - 1)^{2}} \]

    \[=\sqrt{(-5)^{2} + (5)^{2} + 5^{2}}\]

    \[=\sqrt{25+ 25 + 25}\]

    \[=\sqrt{75}\]

    \[=\sqrt{25 \cdot 3}\]

    \[=\sqrt{25} \cdot \sqrt{3}\]

    \[=5\sqrt{3}\]

 
Perhatikan gambar berikut!
contoh soal mencari jarak titik ke titik pada dimensi tiga
Jika titik P berada pada tengah-tengah garis BF maka jarak antara titik A dan P adalah ….
A.     5\sqrt{3}
B.     5\sqrt{2}
C.     3\sqrt{7}
D.     3\sqrt{5}
E.     3\sqrt{3}
 
Pembahasan:
jarak titik ke titik pada dimensi tiga
Panjang PB = \frac{1}{2} \cdot 6 = 3 cm dengan menggunakan rumus phytagoras, kita akan peroleh nilai AP seperti terlihar pada cara berikut.

    \[ AP = \sqrt{6^{2} + 3^{2}} \]

    \[ = \sqrt{36 + 9} \]

    \[ = \sqrt{45} \]

    \[ = \sqrt{9 \cdot 5} \]

    \[ = \sqrt{9} \cdot \sqrt{5} \]

    \[ = 3\sqrt{5} \]

Jawaban: D
 

Pembahasan selanjutnya mengenai materi jarak pada dimensi tiga adalah jarak titik ke garis.

 
 

Jarak Titik dan Garis

Jarak antara titik A ke garis adalah panjang garis tegak lurus titik A ke garis g. Sobat idschool perlu melakukan proyeksi titik A pada garis g terlebih dahulu. Tarik sebuah garis yang menghubungkan titik A pada garis g. Garis inilah yang menjadi jarak titik A ke garis g. Untuk lebih jelasnya perhatikan gambar di bawah.

jarak titik ke garis

Sekarang, simak contoh soal jarak garis ke garis yang akan diberikan di bawah.

 
Contoh Soal dan Pembahasan Jarak Titik ke Garis
Diketahui kubus ABCD EFGH dengan panjang rusuk 6 cm. Jarak titik C ke garis FH adalah ….
A.     2 \sqrt{6}
B.     3 \sqrt{6}
C.     4 \sqrt{6}
D.     5 \sqrt{6}
E.     6 \sqrt{6}
 
Pembahasan:
Perhatikan gambar berikut!

contoh soal titik ke garis

Dengan mudah kita dapat mengetahui bahwa CH, CF, dan FH merupakan diagonal sisi. Sehingga dapat disimpulkan bahawa:

CH = CF = FH = diagonal sisi = 6 \sqrt{2} cm
 

Selanjutnya, perhatikan segitiga CFH yang terdapat pada bangun ruang diatas, jika segitiga CFH digambar ulang akan terlihat seperti gambar berikut.

contoh soal jarak titik ke garis pada dimensi tiga
Jarak C ke FH = CC’ adalah

    \[CF = \sqrt{\left( 6 \sqrt{2} \right)^{2} - \left( \frac{6}{2}\sqrt{2} \right)^{2}}\]

    \[ = \sqrt{ 72 - \left( \frac{36}{4} \cdot 2 \right)}  \]

    \[ = \sqrt{ \frac{144}{2} - \frac{36}{2}}\]

    \[ = \sqrt{\frac{108}{2}} \]

    \[ = \frac{\sqrt{108}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \]

    \[ = \frac{\sqrt{36 \cdot 3}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \]

    \[ = \frac{\sqrt{36} \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \]

    \[ = \frac{ 6 \sqrt{3}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \]

    \[ = \frac{ 6 \sqrt{6}}{2}  = 3 \sqrt{6} \]

Jadi, jarak titik C ke garis FH pada kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm adalah 3 \sqrt{6} cm.

Pembahasan selanjutnya adalah jarak titik ke bidang.

 

Jarak Titik ke Bidang

Cara untuk menentukan jarak titik ke Bidang hampir sama dengan jarak titik ke garis. Langkah pertama yang harus dilakukan adalah melakukan proyeksi titik pada bidang terkait. Jarak titik ke bidang dinyatakan oleh jarak titik ke proyeksi titik pada bidang. Dengan kata lain dapat disimpulkan bahwa jarak antara titik A ke bidang \alpha adalah panjang garis tegak lurus dari titik A ke bidang \alpha. Perhatikan gambar di bawah untuk lebih jelasnya.

jarak titik ke bidang pada dimensi tiga

Jarak titik A pada bidang \alpha sama dengan jarak AA’ dengan titik A’ merupakan titik proyeksi A pada bidang \alpha.

Sekarang, latih pemahaman sobat idschool melalui contoh soal jarak titik ke bidang yang akan diberikan di bawah.

 
Contoh Soal dan Pembahasan Jarak Titik ke Bidang
Sebuah kubus ABCD.EFGH mempunyai panjang rusuk 6 cm, maka jarak titik D terhadap bidang ACH adalah …. (SOAL UN MATEMATIKA IPA 2016)
A.     2 cm
B.     2\sqrt{3} cm
C.     3 cm
D.     3\sqrt{3} cm
E.     4\sqrt{3} cm
 
Pembahasan:

Berdasarkan keterangan pada soal, dapat diperoleh gambar di bawah.

Jarak titik D terhadap bidang ACH sama dengan jarak DD’ di mana D’ merupakan titik proyeksi D pada bidang ACH yang terletak pada garis HH’.

BD = diagonal bidang = 6 \sqrt{2} cm
 
Sehingga,

    \[ DH' = \frac{1}{2}BD = 3\sqrt{2} \textrm{cm} \]

    \[ DH = 6 \textrm{cm} \]

 
Selanjutnya,

    \[ HH' = \sqrt{\textrm{DH}^{2} + \textrm{DH'}^{2}} \]

    \[ HH' = \sqrt{6^{2} + (3\sqrt{2})^{2}} \]

    \[ HH' = \sqrt{ 36 + 18} \]

    \[ HH' = \sqrt{54} \]

    \[ HH' = \sqrt{9 \cdot 6} \]

    \[ HH' = \sqrt{9} \cdot \sqrt{6} \]

    \[ HH' = 3 \sqrt{6}\; \textrm{cm} \]

Untuk langkah selanjutnya perhatikan segitiga HDH’ (siku-siku di D)!

materi jarak pada dimensi tiga
 
Berdasarkan luas segitiga HDH’ akan diperoleh

    \[\frac{1}{2} \cdot HH'  \cdot DD' = \frac{1}{2} \cdot DH' \cdot DH \]

    \[HH'  \cdot DD' = DH' \cdot DH \]

    \[ DD' = \frac{DH' \cdot DH}{HH'} \]

    \[ DD' = \frac{3 \sqrt{2} \cdot 6}{3 \sqrt{6}} \]

    \[ DD' = \frac{18 \sqrt{2}}{3 \sqrt{6}} \]

    \[ DD' = \frac{6 \sqrt{2}}{ \sqrt{6}} \cdot \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}} \]

    \[ DD' = \frac{6 \sqrt{2} \cdot \sqrt{6}}{ \sqrt{6} \cdot \sqrt{6}} \]

    \[ DD' = \frac{6 \sqrt{12}}{ 6} \]

    \[ DD' = \frac{6 \sqrt{4 \cdot 3}}{ 6} \]

    \[ DD' = \frac{6 \cdot \sqrt{4} \cdot \sqrt{3}}{ 6} \]

    \[ DD' = \sqrt{4} \cdot \sqrt{3} = 2 \sqrt{3} \textrm{3} \]

Jadi, jarak D ke bidang ACH adalah 2 \sqrt{3} cm.

Jawaban: B

 

Perhitungan yang lulmayan cuku panjang dan rumit, bukan? Jangan khawatir, soal pada materi jarak pada dimensi tiga itu dapat dibilang unik. Misalnya, sobat tidak perlu menghitung diagonal sisi atau diagonal ruang pada suatu kubus. Karena, secara pasti, diagonal sisi suatu kubus adalah \textrm{sisi} \sqrt{2} dan diagonal ruang suatu kubus adalah \textrm{sisi} \sqrt{3}. Dengan banyak mengerjakan latihan berbagai jenis soal pada dimensi tiga, nantinya sobat idschool dapat memahami keunikan-keunikan materi jarak pada dimensi tiga. Jadi, kalau merasa kesulitan, jangan menyerah ya! Hehe.

Selanjutnya, kita akan masuk dalam pembahasan selanjutnya, yaitu jarak garis ke garis.

 

Jarak Garis ke Garis

Jarak antara dua garis atau jarak garis ke garis adalah panjang ruas garis yang menghubungkan antara garis pertama dan garis kedua, di mana ruas garis tersebut tegak lurus dengan garis pertama dan garis kedua. Cara yang harus dilakukan adalah mengambil sebuah titik yang merupakan bagian dari garis pertama. Kemudian, proyeksikan titik tersbut pada garis ke dua. Sekarang dua titik tersebut terhubung oleh sebuah garis yang tegak lurus. Garis inilah yang menyatakan jarak garis ke garis. Secara lebih detailnya, sobat idschool dapat melihat pada gambar di bawah.

jarak garis ke garis pada materi jarak dimensi tiga

 

Langsung saja, mari kita simak contoh soal dan pembahasan jarak garis ke garis.

 
Contoh Soal dan Pembahasan Jarak Antara Dua Garis (Jarak garis ke garis)

Perhatikan gambar berikut!

contoh soal dimensi tiga jarak garis ke garis

Diketahui panjang rusuk kubus di atas adalah 10 cm. Titik P dan titik Q berturut-turut merupakan titik tengah dari rusuk AB dan BC. Jarak garis PQ ke garis EG adalah ….

    \[ \textrm{A.} \; \; \; \frac{2}{5} \sqrt{6} \textrm{cm}\]

    \[ \textrm{B.}  \; \; \; \frac{3}{5} \sqrt{6} \textrm{cm}\]

    \[ \textrm{C.}  \; \; \; \frac{4}{5} \sqrt{6} \textrm{cm}\]

    \[ \textrm{D.}  \; \; \; \frac{3}{2} \sqrt{6} \textrm{cm}\]

    \[ \textrm{E.}  \; \; \; \frac{5}{2} \sqrt{6} \textrm{cm}\]

 
Pembahasan:
Perhatikan garis PQ dan garis EG!
 
contoh soal garis ke garis pada materi jarak pada dimensi tiga
 
Jarak garis PQ terhadap garis EG sama dengan jarak titik M ke titik N.

Sebelum menentukan panjang MN, kita perlu mengitung panjang beberapa ruas garis terlebih dahulu.

PB = QB = 5 cm (P dan Q merupakan titik tengah masing-masing rusuk)

 
Mencari panjang PQ:
Berdasarkan teorema Phytagoras, maka dapat diperoleh panjang PQ dengan cara berikut.

    \[ PQ = \sqrt{BP^{2} + BQ^{2}} \]

    \[ PQ = \sqrt{5^{2} + 5^{2}} \]

    \[ PQ = \sqrt{25 + 25} \]

    \[ PQ = \sqrt{50} \]

    \[ PQ = \sqrt{25 \cdot 2} \]

    \[ PQ = \sqrt{25} \cdot \sqrt{2} \]

    \[ PQ = 5 \sqrt{2} \textrm{cm} \]

 
Mencari panjang QN:

    \[ QN = \frac{1}{2} PQ\]

    \[ QN = \frac{1}{2} \cdot 5\sqrt{2}\]

    \[ QN = \frac{5}{2} \sqrt{2} \; \textrm{cm} \]

 
Mencari panjang BN:
Berdasarkan teorema pythagoras (segitiga siku-siku di N)
Sehingga,

    \[ BN = \sqrt{BQ^{2} - QN^{2}}\]

    \[ BN = \sqrt{5^{2} - \left( \frac{5}{2} \sqrt{2} \right)^{2}}\]

    \[ BN = \sqrt{25 - \frac{25}{4} \cdot 2} \]

    \[ BN = \sqrt{\frac{100}{4} - \frac{50}{4}} \]

    \[ BN = \sqrt{\frac{50}{4}}  \]

    \[ BN = \frac{\sqrt{50}}{\sqrt{4}}  \]

    \[ BN = \frac{\sqrt{25 \cdot 2}}{2}  \]

    \[ BN = \frac{\sqrt{25} \cdot \sqrt{2}}{2}  \]

    \[ BN = \frac{5 \sqrt{2}}{2}  \]

    \[ BN = \frac{5}{2} \sqrt{2} \textrm{cm} \]

 
Mencari panjang FM:
FM merupakan setengah panjang diagonal sisi kubus (sisi EG), sehingga panjangnya adalah

    \[FM = \frac{1}{2} \cdot 10\sqrt{2} = 5 \sqrt{2} \textrm{cm} \]

 
Ingat!!!
Panjang diagonal sisi kubus adalah \textrm{sisi} \sqrt{2}.
Panjang diagonal ruang kubus adalah \textrm{sisi} \sqrt{3}.

 
Selanjutnya perhatikan gambar berikut!
pembahasan contoh soal jarak garis ke garis

 
Mencari panjang MF’:

    \[ MF' =  MF - BN\]

    \[ MF' = 5 \sqrt{2} - \frac{5}{2} \sqrt{2} \]

    \[ MF' = \frac{10}{2} \sqrt{2} - \frac{5}{2} \sqrt{2} \]

    \[ MF' = \frac{5}{2} \sqrt{2} \textrm{cm} \]

 
Mencari Panjang MN:

    \[MN = \sqrt{\textrm{MF'}^{2} + \textrm{NF'}^{2}} \]

    \[MN = \sqrt{\left( \frac{5}{2} \sqrt{2} \right) ^{2} + 10^{2}} \]

    \[MN = \sqrt{ \frac{25}{4} \cdot {2} + 100} \]

    \[MN = \sqrt{ \frac{50}{4} + \frac{100}{4}} \]

    \[MN = \sqrt{ \frac{150}{4}} \]

    \[MN = \frac{\sqrt{150}}{\sqrt{4}} \]

    \[MN = \frac{\sqrt{25 \cdot 6}}{2} \]

    \[MN = \frac{{\sqrt{25} \cdot \sqrt{6}}}{2} \]

    \[MN = \frac{{5\sqrt{6}}}{2} \]

    \[MN = \frac{5}{2}\sqrt{6} \textrm{cm} \]

 
Jadi panjang garis MN dengan garis EG adalah \frac{5}{2} \sqrt{6} cm.
Jawaban: E
 

Langkah yang cukup panjang. Pembahasan kita masih tersisa 2, yaitu jarak garis ke bidang dan jarak bidang ke bidang.

 

Jarak Garis ke Bidang

Jarak antara garis dan bidang merupakan jarak antara garis dengan garis proyeksinya pada bidang. Prisip cara mencari jarak garis ke bidang hampir sama dengan mencari jarak garis ke garis. Bedanya, proyeksi pada jarak garis ke garis dilakukan antara garis ke garis, proyeksi garis ke bidang dilakukan antara garis ke bidang. Unruk lebih jelasnya perhatikan gambar di bawah.

materi jarak pada dimensi tiga

Sekarang, langsung saja simak contoh soal jarak garis ke bidang yang akan diberikan di bawah.

 
Contoh soal dan Pembahasan Jarak Garis ke Bidang
Diketahui panjang rusuk kubus di atas adalah 6 cm. Titik K, titik L, titik M, dan titik N berturut-turut merupakan titik tengah dari rusuk AB, BC, EH, dan GH. Jarak garis KL ke bidang DMN adalah ….
A.     10 cm
B.     8 cm
C.     6 cm
D.     4 cm
E.     3 cm
 
Pembahasan:
Perhatikan gambar berikut!
materi matematika dimensi tiga
Keterangan:
Garis QR merupakan jarak antara bidang DMN dengan garis KL
DP tegak lurus dengan garis QR (karena QR adalah garis tinggi segitiga DQP)
KB = BL = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} \cdot 6 = 3 cm

 
Perhatikan segitiga KLB!
materi jarak pada dimensi tiga

 
Mencari panjang KL:
Berdasarkan teorema pythagoras, maka dapat diperoleh panjang PQ dengan cara berikut.

    \[ KL = \sqrt{BP^{2} + BQ^{2}} \]

    \[ KL = \sqrt{3^{2} + 3^{2}} \]

    \[ KL = \sqrt{9 + 9} \]

    \[ KL = \sqrt{18} \]

    \[ KL = \sqrt{9 \cdot 2} \]

    \[ KL = \sqrt{9} \cdot \sqrt{2} \]

    \[ KL = 3 \sqrt{2} \textrm{cm} \]

 
Panjang QL = frac{1}{2} KL = frac{1}{2} \cdot 3\sqrt{2} = \frac{3}{2} \sqrt{2} cm (karena BQ adalah garis tinggi dan garis berat segitiga KLB).

 
Mencari panjang HP:
Berdasarkan teorema pythagoras maka dapat diperoleh persamaan di bawah.

    \[ BQ = \sqrt{BQ^{2} - QN^{2}}\]

    \[ BQ = \sqrt{3^{2} - \left( \frac{3}{2} \sqrt{2} \right)^{2}}\]

    \[ BQ = \sqrt{9 - \frac{9}{4} \cdot 2} \]

    \[ BQ = \sqrt{\frac{36}{4} - \frac{18}{4}} \]

    \[ BQ = \sqrt{\frac{18}{4}}  \]

    \[ BQ = \frac{\sqrt{18}}{\sqrt{4}}  \]

    \[ BQ = \frac{\sqrt{9 \cdot 2}}{2}  \]

    \[ BQ = \frac{\sqrt{9} \cdot \sqrt{2}}{2}  \]

    \[ BQ = \frac{3 \sqrt{2}}{2}  \]

    \[ BQ = \frac{3}{2} \sqrt{2} \textrm{cm} \]

 
Panjang HP = BQ = \frac{3}{2} \sqrt{2} cm

 
Mencari Panjang DQ:

    \[DQ = DB - BQ \]

    \[DQ = 6 \sqrt{2} - \frac{3}{2} \sqrt{2}  \]

    \[DQ = \frac{12}{2} \sqrt{2} - \frac{3}{2} \sqrt{2}  \]

    \[DQ = \frac{9}{2} \sqrt{2} \]

 
Perhatikan gambar berikut!
jarak garis ke bidang pada materi jarak pada dimensi tiga

 
Mencari panjang PF:
Sebelumnya, cari panjang HF terlebih dahulu, HF = diagonal sisi = 6 \sqrt{2}.

    \[ PF' = HF - FF' - HP \]

    \[ PF' = 6\sqrt{2} - \frac{3}{2} \sqrt{2}  - \frac{3}{2} \sqrt{2} \]

    \[ PF' = 6\sqrt{2} - \frac{6}{2} \sqrt{2} \]

    \[ PF' = 6 \sqrt{2} - 3 \sqrt{2} \]

    \[ PF' = 3 \sqrt{2} \textrm{cm} \]

 
Mencari panjang PQ:

    \[PQ = \sqrt{\textrm{PF'}^{2} + \textrm{QF'}^{2}} \]

    \[PQ = \sqrt{(3 \sqrt{2})^{2} + 6^{2}} \]

    \[PQ = \sqrt{9 \cdot 2 + 36} \]

    \[PQ = \sqrt{18 + 36} \]

    \[PQ = \sqrt{54} \]

    \[PQ = \sqrt{9 \cdot 6} \]

    \[PQ = \sqrt{9} \cdot \sqrt{6} \]

    \[PQ = 3 \sqrt{6} \]

 
Perhatikan kembali gambar berikut!
contoh soal dan pembahasan dimensi tiga

 
Mencari panjang DP:

    \[ DP = \sqrt{\textrm{HP}^{2} + \textrm{HD}^{2}}\]

    \[ DP = \sqrt{ \left( \frac{3}{2} \sqrt{2} \right)^{2} + 6^{2}}\]

    \[ DP = \sqrt{ \frac{9}{4} \cdot 2  + 36} \]

    \[ DP = \sqrt{ \frac{18}{4} + \frac{144}{4}} \]

    \[ DP = \sqrt{ \frac{162}{4}} \]

    \[ DP = \frac{\sqrt{162}}{\sqrt{4}} \]

    \[ DP = \frac{\sqrt{81 \cdot 2}}{2} \]

    \[ DP = \frac{\sqrt{81} \cdot \sqrt{2}}{2} \]

    \[ DP = \frac{9 \sqrt{2}}{2} \]

    \[ DP = \frac{9}{2} \sqrt{2} \textrm{ cm}\]

 
Selanjutnya perhatikan gambar berikut!
mencari jarak garis ke bidang pada dimensi tiga

 
Mencari panjang DO:

    \[\textrm{DO} = \sqrt{\textrm{DQ}^{2} - \textrm{QO}^{2}} \]

    \[\textrm{DO} = \sqrt{ \left( \frac{9}{2} \sqrt{2} \right)^{2} - \left( \frac{3}{2} \sqrt{6} \right)^{2}} \]

    \[\textrm{DO} = \sqrt{  \frac{81}{4} \cdot 2 -  \frac{9}{4} \cdot 6 } \]

    \[\textrm{DO} = \sqrt{  \frac{162}{4} -  \frac{54}{4} } \]

    \[\textrm{DO} = \sqrt{  \frac{108}{4} } \]

    \[\textrm{DO} = \frac{\sqrt{108}}{\sqrt{4}} \]

    \[\textrm{DO} = \frac{\sqrt{36 \cdot 3}}{2} \]

    \[\textrm{DO} = \frac{\sqrt{36} \cdot \sqrt{3}}{2} \]

    \[\textrm{DO} = \frac{6 \sqrt{3} }{2} \]

    \[\textrm{DO} = 3 \sqrt{3} \textrm{cm} \]

 
Mencari panjang QR
Berdasarkan luas segitiga akan diperoleh hasil dari QR seperti terlihata pada cara berikut.

    \[ \frac{1}{2} \cdot PD \cdot QR = \frac{1}{2} \cdot PQ \cdot DO \]

    \[ PD \cdot QR = PQ \cdot DO  \]

    \[ QR  = \frac{PQ \cdot DO}{PD} \]

    \[ QR  = \frac{3 \sqrt{6} \cdot 3 \sqrt{3} }{\frac{9}{2} \sqrt{2}} \]

    \[ QR  = \frac{9 \sqrt{18} }{\frac{9}{2} \sqrt{2}} \]

    \[ QR  = \frac{9 \sqrt{9 \cdot 2} }{\frac{9}{2} \sqrt{2}} \]

    \[ QR  = \frac{9 \cdot \sqrt{9} \cdot \sqrt{2}}{\frac{9}{2} \sqrt{2}} \]

    \[ QR  = \frac{9 \cdot 3\sqrt{2}}{\frac{9}{2} \sqrt{2}} \]

    \[ QR  = \frac{27 \sqrt{2}}{\frac{9}{2} \sqrt{2}} \]

    \[ QR  = \frac{27}{\frac{9}{2}} \]

    \[ QR  = 27 \cdot {\frac{2}{9}} \]

    \[ QR  = \frac{54}{9} = 6 \textrm{cm} \]

 
Jadi jarak garis PQ ke bidang DRS adalah QR = 6 cm.
Jawaban: C

Done! proses yang sangat panjang. Selanjutnya, kita akan masuk ke pembahasan terakhir yaitu jarak bidang ke bidang.

 

Jarak Bidang ke Bidang

Jarak antara dua bidang atau jarak bidang ke bidang adalah panjang ruas garis yang saling tegak lurus pada kedua bidang tersebut. Sama seperti pembahasan sebelumnya, sobat idschool perlu melakukan proyeksi titik yang merupakan bagian dari satu bidang ke titik lain yang merupakan bagian dari bidang ke dua. Sehingga, jika kedua titik tersebut ditarik garis lurus akan saling tegak lurus dengan kedua bidang. Untuk lebih jelasnya, perhatikan gambar di bawah.

jarak bidang ke bidang pada dimensi tiga

Berikut ini akan diberikan contoh soal bidang ke bidang.

 
Contoh Soal dan Pembahasan Jarak Bidang ke Bidang
Diketahui panjang sebuah rusuk kubus adalah 8 cm. Titik P, titik Q, titik R, dan titik S berturut-turut merupakan titik tengah dari rusuk AB, BC, EH, dan HG. Jarak bidang FPQ ke bidang DRS adalah ….
A.     16 cm
B.     14 cm
C.     12 cm
D.     10 cm
E.     8 cm
 
Pembahasan:

Berdasarkan keterangan pada soal dapat diperoleh gambar dengan keterangan seperti terlihat pada gambar di bawah.

 
contoh soal jarak bidang ke bidang pada dimensti tiga

 
Jarak bidang FPQ ke bidang DRS sama dengan jarak titik ML. Sebelum menentukan nilai ML diperlukan beberapa langkah perhitungan terlebih dahulu seperti langkah-langkah berikut.

 
Menghitung panjang PQ:
PB = BQ =\frac{1}{2} \cdot panjang rusuk kubus = \frac{1}{2} \cdot 8 = 4 cm
Sehingga, diperolah persamaan PQ seperti di bawah.

    \[PQ = \sqrt{\textrm{BP}^{2} + \textrm{BQ}^{2}} \]

    \[PQ = \sqrt{4^{2} + 4^{2}} \]

    \[PQ = \sqrt{16 + 16} \]

    \[PQ = \sqrt{16 \cdot 2} \]

    \[PQ = \sqrt{16} \cdot \sqrt{2} \]

    \[PQ = 4 \sqrt{2} \]

 

Segitiga PBQ adalah segitiga sama kaki, sehingga BM merupakan garis tingg dan garis berat garis PQ. Jadi PM = MQ =\frac{1}{2}PQ = \frac{1}{2} \cdot 4 \sqrt{2} = 2 \sqrt{2} cm.

 
Mencari panjang BM (Perhatikan segitiga BMQ siku-siku di M):

    \[BM = \sqrt{BQ^{2} - QM^{2}} \]

    \[BM = \sqrt{4^{2} - (2 \sqrt{2})^{2}} \]

    \[BM = \sqrt{16 - 4 \cdot 2} \]

    \[BM = \sqrt{16 - 8} \]

    \[BM = \sqrt{8} \]

    \[BM = \sqrt{4 \cdot 2} \]

    \[BM = \sqrt{4} \cdot \sqrt{2} = 2 \sqrt{2} \textrm{ cm}\]

 
Mencari panjang FM (Perhatikan segitiga FBM siku-siku di B):

    \[FM = \sqrt{\textrm{BM}^{2} + \textrm{BF}^{2}} \]

    \[FM = \sqrt{(2 \sqrt{2})^{2} + 8^{2}} \]

    \[FM = \sqrt{4 \cdot 2 + 64} \]

    \[FM = \sqrt{8 + 64} \]

    \[FM = \sqrt{72} \]

    \[FM = \sqrt{36 \cdot 2} \]

    \[FM = \sqrt{36} \cdot \sqrt{2} = 6 \sqrt{2} \textrm{ cm} \]

 
Mencari panjang BD:
BD = diagonal sisi = \textrm{panjang rusuk} \sqrt{2} = 8 \sqrt{2} \textrm{ cm}

 
Mencari Panjang DM:

    \[DM = \textrm{BD} - \textrm{BM} \]

    \[DM = 8 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} \]

    \[DM = 6 \sqrt{2} \textrm{ cm} \]

 

Perhatikan jajar genjang DMFK yang diambil dari gambar kubus sebelumnya.
 
materi jarak pada dimensi tiga
 
Keterangan:
DM = FK = 6 \sqrt{2} cm
DK = FM = 6 \sqrt{2} cm
TK = BF = 8 cm

 
Mencari panjang ML:

    \[ \textrm{DK} \cdot \textrm{ML} = \textrm{DM} \cdot \textrm{KT} \]

    \[ \textrm{ML} = \frac{\textrm{DM} \cdot \textrm{KT}}{\textrm{DK}} \]

    \[ \textrm{ML} = \frac{ 6 \sqrt{2} \cdot 8}{6\sqrt{2}} \; = \; 8 \; \textrm{cm} \]

 
Jadi jarak bidang FPQ ke bidang DRS adalah 8 cm.
Jawaban: E

 
Sekian pembahasan mengenai materi jarak pada dimensi tiga yang meliputi jarak titik ke titik, jarak titik ke garis, jarak titik ke bidang, jarak garis ke garis, jarak garis ke bidang, dan jarak bidang ke bidang. Terimakasih sudah mengunjungi idschool(dot)net, semoga bermanfaat!

 
Baca Juga: Pengantar Dimensi Tiga (Bangun Ruang)