Gambar Daerah Layak yang Sesuai dengan Sistem Pertidaksamaan Linear

Gambar daerah layak memuat himpunan penyelesaian yang memenuhi suatu pertidaksamaan linear. Biasanya, gambar daerah layak sering dijumpai pada masalah atau bahasan program linear. Sistem pertidaksamaan yang membatasi gambar daerah layak adalah merupakan fungsi kendala pada masalah program linear. Cara membuat gambar daerah layak sebagai himpunan penyelesaian pertidaksamaan linear dapat dilakukan dengan menentukan batas wilayah dan menguji daerah.

Bagaimana cara membuat gambar daerah layak? Bagaimana cara menentukan daerah layak yang dibatasi oleh suatu sistem pertidaksamaan linear? Sobat idschool dapat mencari tahu jawabannya melalui ulasan di bawah.

Table of Contents

Bentuk Gambar Daerah Layak

Contoh Bentuk Gambar Daerah Layak

Daerah layak biasanya digambarkan melalui bagian wilayah yang diarsir. Untuk mendapatkan gambar daerah layak, sobat idschool perlu menggambarkan batas-batas garisnya terlebih dahulu. Setelah mendapatkan kedua garis tersebut selanjutnya sobat idschool akan mendapatkan daerah yang terbagi oleh garis.

Daerah yang terbagi oleh garis dapat menjadi daerah penyelesaian atau bukan daerah penyelesaian. Sehingga sobat idschool perlu menguji daerah-daerah tersebut dengan mengambil satu titik sampel di setiap daerah yang terbagi oleh garis. Dengan melakukan uji titik ini, sobat idschool dapat mengetahui mana daerah yang merupakan himpunan penyelesaian dan mana daerah yang bukan merupakan himpunan penyelesaian.

Cara melakukan uji titik dilakukan dengan susbtitusi nilai variabel x dan y pada pertidaksamaan. Hasil dari perhitungan akan menunjukkan apakah memenuhi atau tidak memenuhi pertidaksamaan.

Baca Juga: GarisLurus pada Persamaan Linear

Cara Menentukan Gambar Daerah Layak

Sebagai contoh, perhatikan bagaimana cara menentukan daerah layak dari suatu pertidaksamaan pada penyelesaian soal sederhana berikut.

Soal: Tentukan daerah layak pada pertidaksamaan x + y ≤ 5!
Langkah pertama adalah menggambar garis x + y = 5 kemudian melakukan uji titik pada daerah yang terbagi oleh garis tersebut.

Jika terdapat lebih dari satu pertidaksamaan maka daerah layak yang memenuhi adalah daerah yang merupakan irisan dari beberapa pertidaksamaan. Atau dapat dikatakan bahwa daerah layak yang juga dimiliki oleh setiap pertidaksamaan.

Baca Juga: 3 Langkah dalam Cara Menyelesaikan Permasalahan Program Linear

Contoh Soal dan Pembahasan

Beberapa contoh soal di bawah dapat sobat idschool gunakan untuk menambah pemahaman bahasan di atas. Setiap contoh soal yang diberikan dilengkapi dengan pembahasannya. Sobat idschool dapat menggunakan pembahasan tersebut sebagai tolak ukur keberhasilan mengerjakan soal. Selamat Berlatih!

Contoh 1 – Cara Menentukan Gambar Daerah Layak yang Sesuai dengan Sistem Pertidaksamaan

Contoh Soal Cara Menentukan Gambar Daerah Layak

Daerah yang diarsir pada gambar di atas adalah daerah penyelesaian dari pertidaksamaan ….
A. 6x + y ≤ 12; 5x + 4y ≥ 20; x ≥ 0; y ≥ 0 
B. 6x + y ≥ 12; 5x + 4y ≥ 20; x ≥ 0; y ≥ 0 
C. 6x + y ≥ 12; 5x + 4y ≤ 20; x ≥ 0; y ≥ 0 
D. x + 6y ≤ 12; 4x + 5y ≥ 20; x ≥ 0; y ≥ 0 
E. x + 6y ≥ 12; 4x + 5y ≤ 12; x ≥ 0; y ≥ 0 

Pembahasan:
Langkah pertama untuk menentukan sistem pertidaksamaan yang sesuai pada gambar daerah layak yang diberikan pada soal adalah mengetahi persamaan garis yang membatasi daerah layak. Dari gambar daerah layak yang diberikan berada pada kuadran pertama, di mana nilai x dan y pada selalui bernilai positif yang dapat dinyatakan dalam  x ≥ 0 dan y ≥ 0.

Daerah layak yang diberikan dibatasi oleh dua buah garis yang diketahui setiap garis memotong sumbu x dan sumbu y.

Menentukan persamaan garis yang melalui titik (0, 5) dan (4,0):

Contoh Penggunaan Rumus Persamaan Garis Lurus

Karena daerah layak berada di atas garis 5x + 4y = 20 maka pertidaksamaan pertama adalah 5x + 4y  20.

Menentukan persamaan garis yang melalui titik (0, 12) dan (2, 0):

Cara Menentukan Persamaan Garis Lurus yang Melalui 2 Titik

Karena daerah layak berada di atas garis 6x + y = 12 maka pertidaksamaan pertama adalah 6x + y  12.

Jadi, daerah yang diarsir pada gambar di atas adalah daerah penyelesaian dari pertidaksamaan adalah 6x + y ≤ 12; 5x + 4y ≥ 20; x ≥ 20; y ≥ 20.

Jawaban: A

Baca Juga: Operasi Hitung Bilangan Berpangkat Pecahan

Contoh 2 – Cara Menentukan Gambar Daerah Layak yang Sesuai dengan Sistem Pertidaksamaan

Contoh Soal Cara Menentukan Daerah Layak

Pembahasan:
Langkah pertama adalah menentukan batas daerah layak dari dua pertidaksamaan yang diberikan yaitu 3x + 4y ≤ 96 dan x + y ≤ 30. Caranya adalah dengan mengambil harga nol dari kedua pertidaksamaan tersebut sehingga diperoleh dua persamaan linear.

Dari sertiap persamaan linear dapat dibuat sebuah garis lurus yang akan membagi daerah menjadi bagai atas/bawah atau kanan/kiri. Lakukan uji titik di setiap daerah yang dipisahkan sehingga dapat diketahui mana daerah yang menjadi himpunan penyelesaian.

Syarat x ≥ 0 dan y ≥ 0 menunjukkan bahwa daerah penyelesaian berada di kuadran pertama, sehingga hanya perlu fokus pada bagian tersebut. Proses pengerjaannya dilakukan seperti pada cara berikut.

Langkah Menentukan Gambar Daerah Layak
Langkah-Langkah Menentukan Gambar Daerah Layak

Himpunan penyelesaian untuk sistem pertidaksamaan 3x + 4y ≤ 96; x + y ≤ 30; x ≥ 0; y ≥ 0 merupakan irisan dari keempat himpunan penyelesaian keempat pertidaksamaan. Sehingga, irisan atau himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan menghasilkan gambar daerah daerah layak seperti berikut.

Gambar Daerah Layak

Jadi, daerah yang memenuhi sistem pertidaksamaan linear 3x + 4y ≤ 96; x + y ≤ 30; x ≥ 0; y ≥ 0 adalah IV.

Jawaban: D

Contoh 3 – Menentukan Gambar Daerah Layak yang Sesuai dengan Sistem Pertidaksamaan

Daerah berarsir yang menunjukkan himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan 3x + 5y ≥ 15; 2x + 5y ≥ 10; x ≥ 0; dan y ≥ 0 adalah .…

Contoh Soal Gambar Daerah Layak
Contoh Soal Gambar Daerah Layak

Pembahasan:
Cara mendapatkan gambar yang sesuai dengan daerah layak dilakukan dengan menggambar garis lurus yang  sesuai pada sistem pertidaksamaan. Selanjutnya adalah menentukan daerah layak yang sesuai dengan sitem pertidaksamaan dengan melakukan uji titik.

Pada sistem pertidaksamaan yang diberikan terdapat pertidaksamaan x ≥ 0 dan y ≥ 0 yang menunjukkan bahwa daerah layak berada di kuadran pertama. Sehingga sobat idschool hanya perlu memperhatikan daerah pada kuadran pertama. Cara menentukan daerah yang layak sesuai dengan pertidaksamaan  3x + 5y ≥ 15; 2x + 5y ≥ 10; x ≥ 0; dan y ≥ 0 diberikan seperti pada penyelesaian di bawah.

Daerah layak yang memenuhi pertidaksamaan 3x + 5y ≥ 15:

Himpunan Penyelesaian Daerah Layak

Daerah layak yang memenuhi pertidaksamaan 2x + 5y ≥ 10:

Bentuk Himpunan Penyelesaian Daerah Layak

Gabungan dari hasil dua himpunan penyelesaian sesuai dengan irisan himpunan penyelesaian seperti pada gambar daerah layak berikut.

Gambar Daerah Layak yang Sesuai Sistem Pertidaksamaan

 Jadi, daerah berarsir yang menunjukkan himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan 3x + 5y ≥ 15; 2x + 5y ≥ 10; x ≥ 0; dan y ≥ 0 terdapat di gambar daerah layak pada pilihan E.

Jawaban: E

Contoh 4 – Menentukan Gambar Daerah Layak yang Sesuai dengan Sistem Pertidaksamaan

Sistem pertidaksamaan linear yang sesuai dengan daerah penyelesaian diarsir adalah ….
A. 3x + 5y ≤ 15, 4x + 7y ≥ 28, x ≥ 0, y ≥ 0
B. 3x + 5y ≥ 15, 4x + 7y ≤ 28, x ≥ 0, y ≥ 0
C. 5x + 3y ≥ 15, 4x + 7y ≥ 28, x ≥ 0, y ≥ 0
D. 5x + 3y ≤ 15, 4x + 7y ≤ 28, x ≥ 0, y ≥ 0
E. 5x + 3y ≤ 15, 4x + 7y ≥ 28, x ≥ 0, y ≥ 0

Pembahasan:
Langkah pertama adalah menentukan persamaan garis yang menjadi pembatas dari daerah layak yang diberikan. Dearah layak yang diberikan pada soal berada di kuadran pertama yang artinya nilai x dan y selalu bernilai positif sehingga dapat diperoleh dua pertidaksamaan  x ≥ 0 dan y ≥ 0.

Selanjutnya ada dua buah garis yang membatasi daerah layak. Sebuah garis melalui titik (3, 0) dan (0, 5), sedangkan garis lainnya melalui titik (7, 0) dan (0, 4). Cara menentukan persamaan garis dan sistem pertidaksamaan yang sesuai dengan gambar daerah layak yang diberikan pada soal diselesaikan seperti pada penyelesaian berikut.

Cara Menentukan Sistem Pertidaksamaan yang Sesuai dengan Gambar Daerah Layak

Jadi, sistem pertidaksamaan linear yang sesuai dengan daerah penyelesaian diarsir adalah 5x + 3y ≤ 15, 4x + 7y ≥ 28, x ≥ 0, y ≥ 0.

Jawaban: E

Demikianlah tadi ulasan cara menentukan sistem pertidaksamaan yang memenuhi daerah layak. Terima kasih sudah mengunjungi idschool(dot)net, semoga bermanfaat!

Baca Juga: Himpunan Penyelesaian pada Pertidaksamaan Logaritma

Leave a Reply

Your email address will not be published.

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.