Materi jarak pada dimensi tiga terdiri dari jarak titik ke titik, titik ke garis, titik ke bidang, garis ke garis, garis ke bidang, atau bidang ke bidang. Sehingga langkah perhitungan jarak pada dimensi tiga bisa saja berbeda karena antara satu bentuk soal dengan soal lainnya. Namun pada dasarnya, perhitungan jarak pada dimensi tiga adalah perhitungan untuk menghitung jarak terdekat.
Kubus adalah salah satu bentuk bangun ruang yang sering dibahas dan dijadikan soal dalam bahasan materi dimensi tiga. Sebuah kubus memiliki panjang sisi yang sama, begitu juga dengan semua diagonal sisi dan diagonal ruang kubus. Panjang diagonal sisi kubus sama dengan rusuk√2 satuan, sedangkan panjang diagonal ruang kubus sama dengan rusuk√3 satuan.
Baca Juga: Pasangan Garis Saling Sejajar, Berpotongan, Bersilangan pada Kubus
Beberapa cara yang umumnya digunakan untuk melakukan perhitungan jarak pada dimensi tiga melibatkan rumus pada teorema Pythgaoras, luas segitiga, dan kesebangunan. Bagaimana cara menghitung jarak pada dimensi tiga? Sobat idschool dapat mencari tahu jawabannya melalui ringkasan materi jarak pada dimensi tiga berikut.
Daftar isi:
Jarak Titik ke Titik (Jarak Dua Titik)
Jarak pada dimensi tiga antara titik dan titik sama dengan panjang garis yang menghubungkan kedua titik tersebut. Untuk mencari jarak antara dua titik yang diketahui keterangan panjang, cara yang umum digunakan dapat menggunakan rumus pada Teorema Pythagoras.
Terkadang, ada bentuk soal yang menanyakan jarak dua titik hanya diketahui koordinatnya. Jika kedua letak koordinatnya dinyatakan sebagai (x, y, z) maka dapat dicari menggunakan cara dan rumus mencari pada dimensi tiga, seperti kasus berikut.
Diketahui dua titik A dan B dengan koordinat berturut-turut adalah A(x1, y1, z1) dan B(x2, y2, z2). Jarak pada dimensi tiga untuk titik A dan B dapat dicari menggunakan rumus berikut.
Contoh Soal dan Pembahasan Jarak Titik ke Titik
Contoh 1:
Tentukan jarak antara dua titik yang memiliki koordinat P(0, 7, 6) dan Q(5, 2, 1)!
Pembahasan:
Jarak pada dimensi tiga untuk titik P(0, 7, 6) ke titik Q(5, 2, 1) dapat dihitung seperti cara berikut.
|PQ|2 = (0 − 5)2 + (7− 2)2 + (6 − 1)2
|PQ|2 = (−5)2 + 52 + 52
|PQ|2 = 25×3
|PQ| = √(25×3)
|PQ| = √25×√3 = 5√3 cm
Jadi, jarak pada dimensi tiga antara dua titik yang memiliki koordinat P(0, 7, 6) dan Q(5, 2, 1) adalah |PQ| = 5√3 cm.
Contoh 2: Sebuah titik P berada di tengah-tengah ruas garis BF pada kubus ABCD.EFGH. Jarak antara titik A dan titik P adalah . . . . .
A. 5√3
B. 5√2
C. 3√7
D. 3√5
E. 3√3
Pembahasan:
Berdasarkan keterangan yang terdapat pada soal dapat dibentuk sebuah gambar seperti berikut.
Titik P berada di tengah-tengah panjang ruang garis BF. Diketahui bahwa panjang BF = 6 cm, maka panjang PB = 1/2BF = 1/2 × 6 = 3 cm.
Selanjutnya, perhatikan segitiga APB yang siku-siku di titik B. Jarak pada dimensi tiga antara titik A ke titik P dapat dihitung dengan rumus pada Teorema Pythagoras seperti yang dilakukan pada cara berikut.
AP2 = 62 + 32
AP2 = 36 + 9 = 45
AP = √45 = √(9×5)
AP = √9 ×√5 = 3√5
Jadi, jarak antara titik A dan titik P adalah 3√5.
Jawaban: D
Jarak Titik dan Garis
Jarak antara titik A ke garis g adalah panjang garis tegak lurus titik A ke garis g. Sobat idschool perlu melakukan proyeksi titik A pada garis g terlebih dahulu. Tarik sebuah garis yang menghubungkan titik A pada garis g. Garis inilah yang menjadi jarak titik A ke garis g.
Untuk lebih jelasnya perhatikan gambar di bawah.
Hasil proyeksi dari titik A pada garis g adalah titik A’. Jarak antara titik A ke A’ sama dengan jarak titik A ke garis g.
Contoh Soal Jarak Titik ke Garis
Diketahui kubus ABCD EFGH dengan panjang rusuk 6 cm. Jarak titik C ke garis FH adalah ….
A. 2√6
B. 3√6
C. 4√6
D. 5√6
E. 6√6
Pembahasan:
Dari keterangan yang diberikan pada soal dapat dibentuk segitiga CFH dalam kubus ABCD EFGH seperti gambar berikut.
Dengan mudah kita dapat mengetahui bahwa CH, CF, dan FH merupakan diagonal sisi. Sehingga dapat disimpulkan bahawa: CH = CF = FH = diagonal sisi = 6 √2 cm.
Selanjutnya, perhatikan segitiga CFH yang terdapat pada bangun ruang diatas, jika segitiga CFH digambar ulang akan terlihat seperti gambar berikut.
Jarak C ke FH = CC’ yang dapat dihitung seperti pada perhitungan di bawah.
Jadi, jarak pada dimensi tiga untuk jarak titik C ke garis FH pada kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm adalah 3√6 cm.
Baca Juga: Cara Menyederhanakan Bentuk Akar
Jarak Titik ke Bidang
Cara untuk menentukan jarak pada dimensi tiga untuk jarak titik ke bidang hampir sama dengan jarak titik ke garis. Langkah pertama yang harus dilakukan adalah melakukan proyeksi titik pada bidang terkait.
Jarak pada dimensi tiga untuk titik ke bidang dinyatakan oleh jarak titik ke proyeksi titik pada bidang. Sebagai contoh, jarak titik A ke bidang α sama dengan panjang garis yang tegak lurus dari titik A ke bidang α.
Contoh Soal dan Pembahasan Jarak Titik ke Bidang
Sebuah kubus ABCD.EFGH mempunyai panjang rusuk 6 cm, maka jarak titik D terhadap bidang ACH adalah . . . .
A. 2 cm
B. 2√3 cm
C. 3 cm
D. 3√3 cm
E. 4√3 cm
Pembahasan:
Berdasarkan keterangan pada soal, dapat diperoleh gambar di bawah.
Jarak titik D terhadap bidang ACH sama dengan jarak DD’ di mana D’ merupakan titik proyeksi D pada bidang ACH yang terletak pada garis HH’.
Untuk menghitung HH’ dibutuhkan panjang DH dan DH’. Diketahui bahwa panjang DH = panjang rusuk kubus dan DH’ adalah setengah panjang diagobal sisi kubus.
Panjang DH:
DH = panjang rusuk kubus
DH = 6 cm
Panjang DH’ (setengah diagonal sisi):
DH’ = 1/2 × sisi√2
DH’= 1/2 × 6√2
DH’ = 3√2 cm
Selanjutnya, panjang HH’ dapat dihitung dengan rumus Teorema Pythgoras untuk segitiga CHH’. Cara menghitung HH’ dilakukan seperti cara berikut.
Menghitung HH’:
(HH’)2 = HD2 + H’D2
(HH’)2 = 62 + (3√2)2
(HH’)2 = 36 + 18 = 54
HH’ = √54 = √(9×6)
HH’ = √9 × √6 = 3√6 cm
Untuk langkah selanjutnya perhatikan segitiga HDH’ (siku-siku di D)!
Berdasarkan luas segitiga HDH’ akan diperoleh persamaan: 1/2 × HH’ × DD’ = 1/2 × DH’ × DH.
Melalui dua persamaan segitiga tersebut dapat dihitung jarak D ke D’ atau DD’. Di mana jarak pada dimensi tiga untuk titik D ke D’ sama dengan jarak titik D ke bidang ACH.
Menghitung DD’:
1/2 × HH’ × DD’ = 1/2 × DH’ × DH
HH’ × DD’ = DH’ × DH
3√6 × DD’ = 3√2 × 6
3√6DD’ = 18√2
DD’ = 18√2/3√6
DD’ = 18√2/3√6 × √6/√6
DD’ = 18√12/18 = √12 = 4√3 cm
Jadi, jarak D ke bidang ACH sama dengan DD’ = 2√3 cm.
Jawaban: B
Baca Juga: Besar Sudut Antara 2 Garis pada Kubus ABCD.EFGH
Jarak Garis ke Garis
Jarak pada dimensi tiga antara dua garis atau jarak garis ke garis adalah panjang ruas garis yang menghubungkan antara garis pertama dan garis kedua. Di mana ruas garis yang menghubungkan kedua garis tersebut tegak lurus dengan garis pertama dan kedua.
Cara yang harus dilakukan adalah mengambil sebuah titik yang merupakan bagian dari garis pertama. Kemudian, proyeksikan titik tersebut pada garis kedua. Sekarang dua titik tersebut terhubung oleh sebuah garis yang tegak lurus. Garis inilah yang menyatakan jarak pada dimensi tiga untuk garis ke garis.
Contoh Soal Jarak Antara 2 Garis (Jarak Garis ke Garis)
Diketahui panjang rusuk kubus di atas adalah 10 cm. Titik P dan titik Q berturut-turut merupakan titik tengah dari rusuk AB dan BC. Jarak garis PQ ke garis EG adalah ….
A. 5/2√6 cm
B. 7/2√6 cm
C. 11/2√6 cm
D. 13/2√6 cm
E. 15/2√6 cm
Pembahasan:
Berdasarkan keterangan yang diberikan pada soal dapat dibentuk titik P, titik Q, garis PQ, dan garis EG pada kubus ABCD.EFGH seperti berikut.
Jarak pada dimensi tiga untuk garis PQ terhadap garis EG sama dengan jarak titik M ke titik N. Sebelum menentukan panjang MN, kita perlu mengitung panjang beberapa ruas garis terlebih dahulu.
Diketahui bahwa P dan Q merupakan titik tengah masing-masing rusuk, maka panjang PB = QB = 5 cm = 1/2 × 10 cm = 5 cm
Mencari panjang PQ:
(gunakan teorema Phytagoras)
PQ2 = BP2 + BQ2
PQ2 = 52 + 52
PQ2 = 25 + 25 =
PQ = √(25×2)
PQ = √25 × √2 = 5√2 cm
Mencari panjang QN:
QN = 1/2×PQ
QN = 1/2 × 5√2
QN = 5/2√2 cm
Mencari panjang BN:
(Gunakan teorema pythagoras untuk segitiga BNQ yang siku-siku di N)
Mencari panjang FM:
(setengah panjang diagonal sisi kubus)
FM = 1/2×10√2
FM = 5√2 cm
Ingat!!!
Panjang diagonal sisi kubus adalah rusuk√ 2
Panjang diagonal ruang kubus adalah rusuk√3
Selanjutnya perhatikan gambar berikut!
Mencari panjang MF’:
MF’ = MF – BN
MF’ = 5√2 – 5/2√2
MF’ = 10/2√2 – 5/2√2
MF’ = 5/2√2 cm
Mencari Panjang MN:
(gunakan Teorema Pythagoras untuk segitiga MF’N yang siku-siku di F’)
MN2 = (5/2√2)2 + 102
MN2 = (25/4×2) + 100
MN2 = 25/2 + 200/2 = 225/2
MN = √225/√2
MN = 15/√2 = 15/2√2 cm
Jadi panjang garis MN dengan garis EG adalah 15/2√6 cm.
Jawaban: E
Baca Juga: Jarak 2 Garis Bersilangan pada Kubus ABCD-EFGH
Jarak Garis ke Bidang
Jarak pada dimensi tiga antara garis dan bidang merupakan jarak antara garis dengan garis proyeksinya pada bidang. Prinsip cara mencari jarak pada dimensi tiga untuk garis ke bidang hampir sama dengan mencari jarak garis ke garis. Bedanya, proyeksi pada jarak garis ke garis dilakukan antara garis ke garis, proyeksi garis ke bidang dilakukan antara garis ke bidang.
Contoh soal dan Pembahasan Jarak Garis ke Bidang
Diketahui panjang rusuk kubus di atas adalah 6 cm. Titik K, titik L, titik M, dan titik N berturut-turut merupakan titik tengah dari rusuk AB, BC, EH, dan GH. Jarak garis KL ke bidang DMN adalah . . . .
A. 10 cm
B. 8 cm
C. 6 cm
D. 4 cm
E. 3 cm
Pembahasan:
Berdasarkan keterangan yang diberikan pada gambar dapat diperoleh gambar beberapa ruang garis dalam kubus BCD-EFGH seperti berikut.
Keterangan:
1) Garis QR merupakan jarak antara bidang DMN dengan garis KL
2) DP tegak lurus dengan garis QR (karena QR adalah garis tinggi segitiga DQP)
3) KB = BL = 1/2×AB = 1/2×6 = 3 cm
Perhatikan segitiga KLB!
Mencari panjang KL:
(gunakan teorema pythagoras)
KL2 = BP2 + BQ2
KL2 = 32 + 32
KL2 = 9×2
KL = √(9×2)
KL = √9×√2 = 3√2 cm
Panjang QL = 1/2×KL (karena BQ adalah garis tinggi dan garis berat segitiga KLB),
QL = 1/2×3√2
QL = = 3/2√2 cm
Mencari panjang BQ: (gunakan teorema pythagoras)
Hasil perhitungan diperoleh Panjang HP = BQ = 3/2√2 cm, selanjuntnya panjang DQ dapat dihitung dengan cara berikut.
DQ = DB − BQ
DQ = 6√2 − 3/2√2
DQ = 12/2√2 − 3/2√2 = 9/2√2 cm
Dari beberapa perhitungan di atas dapat diperoleh ukuran-ukuran seperti yang ditunjukkan pada gambar di bawah.
Mencari panjang PF:
sebelumnya cari panjang HF terlebih dahulu, HF = diagonal sisi = 6 √2 cm
PF’ = HF − FF’ − HP
PF’ = 6√2 − 3/2√2 − 3/2√2
PF’ = 6√2 − 6/2√2
PF’ = 6√2 − 3√2
PF’ = 3√2 cm
Mencari panjang PQ:
PQ2 = F’P2 + F’Q2
PQ2 =(3√2)2 + 62
PQ2 = 18 + 36 = 54
PQ = √54 = √(9×6)
PQ = √9×√6 = 3√6 cm
Perhatikan kembali gambar berikut!
Mencari panjang DP:
DP2 = HP2 + HD2
DP2 = (3/2√2)2 + 62
DP2 = 18/4 + 36
DP2 = 162/4
DP = √162/√4 = √(81×2)/2
DP = 9√2)/2 = 9/2√2 cm
Selanjutnya perhatikan gambar berikut!
Mencari panjang DO:
Mencari panjang QR:
Berdasarkan luas segitiga akan diperoleh hasil dari QR seperti terlihat pada cara berikut.
Jadi, jarak pada dimensi tiga untuk jarak garis PQ ke bidang DRS adalah QR = 6 cm.
Jawaban: C
Jarak Bidang ke Bidang
Jarak pada dimensi tiga antara dua bidang atau jarak bidang ke bidang adalah panjang ruas garis yang saling tegak lurus pada kedua bidang tersebut. Sama seperti pembahasan sebelumnya, sobat idschool perlu melakukan proyeksi titik yang merupakan bagian dari satu bidang ke titik lain yang merupakan bagian dari bidang ke dua.
Sehingga, jika kedua titik tersebut ditarik garis lurus akan saling tegak lurus dengan kedua bidang. Untuk lebih jelasnya, perhatikan gambar di bawah.
Contoh Soal dan Pembahasan Jarak Bidang ke Bidang
Diketahui panjang sebuah rusuk kubus adalah 8 cm. Titik P, titik Q, titik R, dan titik S berturut-turut merupakan titik tengah dari rusuk AB, BC, EH, dan HG. Jarak bidang FPQ ke bidang DRS adalah ….
A. 16 cm
B. 14 cm
C. 12 cm
D. 10 cm
E. 8 cm
Pembahasan:
Berdasarkan keterangan pada soal dapat diperoleh gambar dengan keterangan seperti terlihat pada gambar di bawah.
Jarak pada dimensi tiga antara bidang FPQ ke bidang DRS sama dengan jarak titik ML. Sebelum menentukan nilai ML diperlukan beberapa langkah perhitungan terlebih dahulu seperti langkah-langkah berikut.
Pertama, tentukan nilai PB = BQ = 1/2 × panjang rusuk kubus = 1/2 × 8 = 4 cm
Menghitung panjang PQ:
PQ2 = BP2 + BQ2
PQ2 = 42 + 42
PQ2 = 16 + 16
PQ = √(16 × 2)
PQ = √16 × √2 = 4√2 cm
Perhatikan bahwa segitiga PBQ adalah segitiga sama kaki, sehingga BM merupakan garis tinggi dan garis berat adalah garis PQ. Jadi PM = MQ = 1/2PQ = 1/2 × 4√2 = 2√2 cm.
Mencari panjang BM:
(Perhatikan segitiga BMQ siku-siku di M):
BM2 = BQ2 − QM2
BM2 = 42 − (2√2)2
BM2 = 16 − 4×2
BM2 = 16 − 8 = 8
Menentukan nilai BM:
BM = √8
BM = √(4 × 2)
BM = √4 × √2 = 2√2 cm
Mencari panjang FM:
(Perhatikan segitiga FBM siku-siku di B):
FM2 = BM2 + BF2
FM2 = (2√2)2 + 82
FM2 = 8 + 64 = 72
FM = √72
FM = √72 = √(36×2) = √36 × √2 = 6√2 cm
Mencari panjang BD:
BD = diagonal sisi
BD = panjang rusuk√2
BD = 8√2 cm
Mencari Panjang DM:
DM = BD – BM
DM = 8√ 2 – 2√ 2 = 6 √2 cm
Perhatikan jajar genjang DMFK yang diambil dari gambar kubus sebelumnya.
Keterangan:
DM = FK = 6√2 cm
DK = FM = 6√2 cm
TK = BF = 8 cm
Mencari panjang ML:
DK × ML = DM × KT
ML = DM × KT/DK
ML = 6√2×8/6√2 = 8 cm
Jadi, jarak pada dimensi tiga antara bidang FPQ ke bidang DRS adalah 8 cm.
Jawaban: E
Sekian ringkasan materi jarak pada dimensi tiga untuk titik ke titik, titik ke garis, titik ke bidang, garis ke garis, garis ke bidang, dan bidang ke bidang. Terima kasih sudah mengunjungi idschool(dot)net, semoga ringkasan materi jarak pada dimensi tiga ini bermanfaat!
Baca Juga: Pengantar Dimensi Tiga (Bangun Ruang)
Bagus
bayansukarno24@gmail.com