Jarak Titik ke Titik pada Dimensi Tiga (R3)

Jarak titik ke titik pada bangun ruang sama dengan panjang segmen garis yang menghubungkan dua titik sudut pada suatu bangun ruang. Sebagai contoh, jarak antara dua titik yang paling dekat pada kubus sama dengan panjang rusuk. Sementara untuk jarak titik ke titik yang paling jauh pada pada kubus adalah panjang diagonal ruang kubus yaitu panjang rusuk√3.

Titik-titik lain selain titik sudut yang membentuk bangun ruang dapat juga dibuat pada suatu segmen garis. Jarak titik ke titik pada dimensi tiga ini dapat dicari tahu dengan beberapa cara. Bagaimana cara menghitung jarak titik ke titik pada bangun ruang? Sobat idschool dapat mencari tahu jawabannya melalui ulasan di bawah.

Baca Juga: Rumus untuk Menghitung jarak Titik ke Garis yang Diketahui Persamaannya

Rumus Jarak Antara 2 Titik

Jarak dalam bahasan geometri adalah panjang suatu segmen garis sebagai penghubung terpendek. Sehingga jarak titik ke titik menyetakan jarak terpendek dari kedua titik.

Sebagai contoh, benda A dan benda B terletak pada suatu jarak tertentu. Letak benda A berada pada titik A dan letak benda B pada titik B, jarak dua benda sama dengan jarak titik A ke titik B. Segmen garis lurus yang menghubungkan titik A dan titik B adalah contoh jarak antara 2 titik atau jarak titik ke titik.

Cara mengukur benda A dan benda B dapat menggunakan mistar atau suatu alat ukur jarak lainnya. Jika diketahui ukuran panjang dua segmen garis yang tegak lurus maka jarak titik A ke titik B dapat dicari tahu dengan rumus pada Teorema Pythagoras.

Baca Juga: Jarak Bidang ke Bidang pada Dimensi Tiga

Jarak Antara Dua Titik pada Bangun Ruang

Jarak dua titik dinyatakan sebagai panjang garis yang menghubungkan kedua titik tersebut. Sebenarnya, tidak ada rumus baru dalam mencari jarak titik ke titik pada dimensi tiga. Rumus bantu yang sering digunakan untuk menghitung jarak titik ke titik adalah Teorema Pythagoras.

Cara yang cukup umum digunakan adalah menghubungkan kedua titik dan titik lain pada suatu bangun ruang sehingga diperoeleh segitiga siku-siku.

Pada segitiga siku-siku terdapat sebuah persamaan yang menyatakan hubungan dari ketiga sisi segitiga. Di mana jumlah kuadrat sisi tegak segitiga sama dengan kuadrat sisi miring segitiga.

c² = a² + b²

Pythagoras

Contoh sederhana cara menghitung titik ke titik dengan teorema pythagoras diberikan seperti pada penyelesaian soal berikut.

Soal:
Sebuah kubus ABCD.EFGH memiliki panjang rusuk 8 cm. Tentukan jarak titik B ke titik D!

Penyelesaian:
Jarak titik B ke titik D pada kubus ABCD.EFGH sama dengan panjang diagonal sisi kubus tersebut.

Sehingga jarak titik B ke titik D sama dengan 5√2 cm.

Terkadang ada bentuk soal yang menanyakan jarak dua titik hanya diketahui koordinatnya. Jika letak koordinat dari kedua titik diketahui maka jarak dua titik dapat dihitung dengan rumus jarak.

Misalnya, diketahui dua titik A dan B dengan koordinat berturut-turut adalah A(x₁, y₁, z₁) dan B(x₂, y₂, z₂). Jarak titik A dan B dapat dicari menggunakan rumus berikut.

Cara menghitung jarak titik ke titik jika diketahui letak koordinat kedua titik dapat dilakukan seperti penyelesaian contoh soal berikut.

Soal:
Tentukan jarak titik P(0, 7, 6) ke titik Q(5, 2, 1)!

Penyelesaian:
Jarak pada dimensi tiga untuk titik P(0, 7, 6) ke titik Q(5, 2, 1) dapat dihitung seperti cara berikut.

Menghitung jarak titik P dan Q:
|PQ|² = (0 − 5)² + (7− 2)² + (6 − 1)²
|PQ|² = (−5)² + 5² + 5² = 25×3
|PQ| = √(25×3) = √25×√3 = 5√3 cm

Jadi, jarak antara dua titik yang memiliki koordinat P(0, 7, 6) dan Q(5, 2, 1) adalah |PQ| = 5√3 cm. Hasil panjang PQ tersebut diperoleh melalui operasi hitung untuk mederhanakan bentuk akar.

Contoh Soal dan Pembahasan

Beberapa contoh soal di bawah dapat sobat idschool gunakan untuk menambah pemahaman bahasan di atas. Setiap contoh soal yang diberikan dilengkapi dengan pembahasannya. Sobat idschool dapat menggunakan pembahasan tersebut sebagai tolak ukur keberhasilan mengerjakan soal. Selamat Berlatih!

Contoh 1 – Soal Jarak Titik ke Titik pada R3

Diketahui titik A dan titik G merupakan titik-titik sudut pada kubus ABCD-EFGH dengan panjang rusuk 5 cm. Jarak titik A ke titik G adalah ….
A. 5√3 cm
B. 5√2 cm
C. 5 cm
D. 3√5 cm

Pembahasan:
Sebuah segemn garis yang menghubungkan titik A ke titik G pada kubus ABCD.EFGH merupakan diagonal ruang kubus tersebut. Sehingga, jarak titik A ke titik G pada kubus ABCD.EFGH sama dengan panjang diagonal ruang kubus yaitu 5√3 cm.

Jadi, jarak titik A ke titik G adalah 5√3 cm.

Jawaban: A

Baca Juga: Jarak Garis ke Bidang pada Dimensi Tiga

Contoh 2 – Soal Jarak Titik ke Titik pada R3

Diketahui sebuah kubus ABCD.EFGH memiliki panjang rusuk 6 cm. Jika ditik P terletak pada tengah-tengah garis BF maka jarak antara titik A dan P adalah ….
A. 5√3 cm
B. 5√2 cm
C. 3√7 cm
D. 3√5 cm
E. 3√3 cm

Pembahasan:
Gambar kubus yang sesuai dengan keterangan yang diberikan pada soal adalah sebagai berikut. 

Perhatikan bahwa titik P dengan titik A dan B membentuk segitga ABP. Segitiga siku-siku APB adalah segitiga siku-siku dengan sudut siku-siku di titik B.

Pada segitiga siku-siku berlaku persamaan yang sesuai Teorema Pythagoras. Sehingga panjang AP dapat dihitung dengan rumus Phytagoras seperti cara penyelesaian berikut.

Menghitung panjang AP:
AP² = 6² + 3²
AP² = 36 + 9 = 45
AP = √45 = √(9×5) = √9×√5 = 3√5 cm

Jadi, jarak antara titik A dan P adalah AP = 3√5 cm.

Jawaban: D

Demikianlah tadi ulasan jarak titik ke titik pada bahasan dimensi tiga (R3). Terima kasih sudah mengunjungi idschool(dot)net, semoga bermanfaat!