Polinomial atau suku banyak merupakan deret bilangan yang memuat variabel dengan suatu pangkat bilangan bulat. Contoh fungsi yang merupakan suku banyak adalah x + 2, x2 – 1, x2 + 2x + 4, dan lain sebagainya. Salah satu operasi yang dapat mengenai suku banyak adalah opersi pembagian. Pembagian suku banyak dapat digambarkan sebagai pembagian antara dua buah suku banyak atau lebih. Hasil dari pembagian suku banyak berupa suatu fungsi baru tanpa sisa atau dengan sisa pembagian.
Bagaimana cara melakukan pembagian suku banyak? Sobat idschool dapat mencari tahu jawabannya melalui ulasan di bawah. Bahasan materi pembagian suku banyak pada halaman ini meliputi cara pembagian suku banyak oleh x – k, (ax + b), dan ax2 + bx + c.
Table of Contents
- Pembagian Suku Banyak dengan (x – k)
- Pembagian Suku Banyak dengan (ax + b)
- Pembagian Suku Banyak dengan ax2 + bx + c
- Contoh Soal dan Pembahasan
Pembagian Suku Banyak dengan (x – k)
Bentuk pertama pembagian suku banyak yang akan dibahas adalah pembagian suku banyak dengan (x – k). Di mana x adalah suatuv variabel dan k adalah suatu bilangan.
Ada dua cara yang dapat digunakan untuk menentukan hasil pembagian yaitu cara bersusun dan cara Horner (skema/bagan). Kedua cara menghasilkan hasil akhir yang sama. Masing-masing cara memiliki kelebihan atau kekurangan untuk menyelesaikan suatu tipe soal tertentu.
Bentuk umum persamaan suku banyak:
f(x) = anxn + an – 1xn – 1 + … + a2x2 + a1x1 + a0
Pembagian suku banyak f(x) oleh (x – k) menghasilkan hasil bagi H(x) dan sisa S(x). Secara matematis, persamaan yang sesuai dengan pernyataan tersebut dinyatakan sesuai persamaan berikut.
f(x) = (x – k) · H(x) + S(x)
Keterangan:
f(x) = suku banyak dengan pangkat tertinggi n
H(x) = hasil bagi berupa suku banyak dengan pangkat tertinggi (n – 1)
S(x) = sisa pembagian
Sebagai contoh, pembagian suku banyak f(x) = x2 + 6x – 10 oleh (x – 1). Untuk mendapatkan hasil dari pembaguan suku banyak tersebut dapat dilakukan melalui dua cara. Kedua cara pembagian suku banyak tersebut diberikan melalui ulasan di bawah.
Cara Bersusun
Pada pembahasan di bawah akan ditunjukkan cara menentukan hasil bagi f(x) = x2 + 6x – 10 oleh (x – 1) dengan cara bersusun.
Pertama, perhatikan bahwa persamaan f(x) = x2 + 6x – 10 mempunyai pangkat tertinggi 2, sedangkan pembaginya x – 1 mempunyai pangkat tertinggi 1. Agar x2 pada f(x) = x2 + 6x – 10 dapat habis dikurang, sobat idschool perlu mengalikan x – 1 dengan x agar menghasilkan x2 – x sehingga x2 bisa saling dikurangkan. Hasil pengurangan x2 + 6x dengan x2 – x adalah 7x.
Turunkan nilai –10 sehingga bilangan yang harus dibagi selanjutnya adalah 7x – 10. Untuk mendapatkan nilai 7x, sobat idschool perlu mengalikan x – 1 dengan 7, sehingga keduanya bisa saling mengurangkan. Diperoleh hasil kali 7 dengan x – 1 adalah 7x – 7. Selanjutnya, kurangkan 7x – 10 dan 7x – 7 yaitu –3.
Sampai proses ini, tidak ada lagi yang bisa dibagi sehingga prosesnya selesai. Proses cara bersusun diberikan seperti gambar di bawah.
Jadi, hasil bagi dari f(x) = x2 + 6x – 10 adalah x + 7 dan sisa pembagiannya adalah –3.
Cara Skema (Cara Horner)
Pada pembahasan kali ini, akan ditunjukkan pembagian suku banyak dengan cara skema/bagan/horner. Untuk membandingkan dengan cara bersusun, kita akan menyelesaikan kasus serupa, yaitu menentukan hasil bagi dari f(x) = x2 + 6x – 10 dengan (x – 1). Namun, cara yang digunakan adalah cara skema/bagan/horner. Jika sobat idschool belum tahu proses perhitungan dengan cara skema/bagan/horner bisa pelajari terlebih dahulu di sini.
Selanjutnya, perhatikan proses menentukan hasil bagi f(x) = x2 + 6x – 10 oleh (x – 1) berikut.
Diperoleh hasil bagi dari f(x) = x2 + 6x – 10 oleh (x – 1) adalah H(x) = x + 7 dan sisa pembagiannya adalah S(x) = –3. Atau dapat juga ditulis ke dalam persamaan berikut:
f(x) = (x – 1) . H(x) + S(x)
f(x) = (x – 1)(x + 7) – 3
Baca Juga: Teorema Sisa dan Teorema Faktor Pada Suku Banyak
Pembagian Suku Banyak dengan (ax + b)
Langkah-langkah menentukan pembagian dengan ax + b menggunakan cara bersusun tidak jauh berbeda dengan menentukan pembagian polinomial dengan x – k pada pembahasan sebelumnya. Sedangkan bentuk umum persamaan suku banyak, hasil, dan sisanya memiliki perbedaan.
Perbedaan bentuk umum pembagian suku banyak untuk bentuk pembagi berupa ax + b dapat dilihat seperti persamaan di bawah.
Jika suku banyak f(x) dibagi dengan (ax + b) memenuhi persamaan umum f(x) seperti berikut.
f(x) = (ax + b) · H(x)/a + S(x)
Keterangan:
f(x) = suku banyak dengan pangkat tertinggi n
H(x) = Hasil bagi yang berupa suku banyak dengan pangkat tertinggi (n – 1)
S(x) = sisa pembagian
Contoh:
Tentukan hasil bagi dari f(x) = x2+ 7x + 1 oleh 3x – 2!
Akan diselesaikan penyelesaian contoh di atas dengan dua cara yaitu cara susun dan cara Horner/Skema.
Cara Susun
Untuk melakukan pembagian suku banya dengan cara susun dapat dilakukan seperti langkah di bawah.
Cara Horner
Bentuk pembagi (ax + b) memiliki nilai k = – b/a. Jadi, nilai k untuk 3x – 2 → k = 2/3, pProses pembagian dengan cara horner dilakukan seperti pada cara berikut.
Jadi, hasil bagi dari f(x) = x2+ 7x + 1 dengan 3x – 2 adalah H(x) = x + 23/3 dan sisanya adalah S(x) = 55/9. Atau dapat ditulis ke dalam persamaan seperti berikut.
f(x) = (3x – 2) · H(x)/a + S(x)
f(x) = (3x – 2) · 1/3(x + 23/3) + 55/9= (3x – 2) · (1/3x + 23/9) + 55/9
Kedua cara menghasilkan hasil yang sama, bukan?
Baca Juga: Contoh Soal Kesamaan Suku Banyak
Pembagian Suku Banyak dengan ax2 + bx + c
Selanjutnya adalah pembagian suku banyak dengan ax2 + bx + c. Cara yang dapat dilakukan dibedakan untuk dua kondisi. Kondisi tersebut adalah pembagi yang tidak dapat difaktorkan dan pembagi yang dapat difaktorkan. Selanjutnya simak penjelasan lebih lanjut pada penjabaran lengkapnya di bawah.
Pembagi Tidak Dapat Difaktorkan
Pembagian suku banyak f(x) dengan ax2 + bx + c merupakan persamaan kuadrat yang tidak dapat difaktorkan dilakukan dengan cara bersusun. Perhatikan langkahnya di bawah.
Contoh:
Tentukan hasil bagi dari x3 – 2x2 + 6x + 7 dengan oleh x2 – 2 + 1.
Pembahasan:
Perhatikan proses pembagian dengan cara susun pada gambar di bawah.
Diperoleh hasil bagi dari x3 – 2x2 + 6x + 7 dengan oleh x2 – x + 1 adalah x – 1 dan sisanya adalah 4x + 8.
Pembagi Dapat Difaktorkan
Apabila pembagi ax2 + bx + c dapat difaktorkan maka pembagian dapat dilakukan dengan menggunakan cara Horner seperti pada contoh yang akan diberikan berikut.
Contoh:
Tentukan hasil bagi dan sisa hasil bagi f(x) = x3 – 2x2 – x + 5 oleh x2 – 1!
Pembahasan:
Pembagian f(x) = x3 – 2x2 – x + 5 dengan (x2 – 1) dapat dituliskan sebagai berikut.
f(x) = (x2 – 1) · H(x) + S(x)
x3 – 2x2 – x + 5 = (x2 – 1) · H(x) + S(x)
x3 – 2x2 – x + 5 = (x – 1)(x + 1) · H(x) + (ax + b)
Untuk mencari hasil pembagian dan sisa akan digunakan dengan cara horner, perhatikan gambar berikut.
Diperoleh hasil pembagiannya adalah H(x) = x – 2 dan sisa S(x) = 3. Sehingga, dapat ditulis ke dalam persamaan berikut.
f(x) = (x2 –1) · H(x) + S(x)
f(x) = (x2 –1)( x – 2) + 3
x3 – 2x2 – x + 5 = (x2 –1)( x – 2) + 3
Baca Juga: Induksi Matematika
Contoh Soal dan Pembahasan
Beberapa contoh soal di bawah dapat sobat idschool gunakan untuk menambah pemahaman bahasan di atas. Setiap contoh soal yang diberikan dilengkapi dengan pembahasan. Sobat idschool dapat menggunakan pembahasan tersebut sebagai tolak ukur keberhasilan mengerjakan soal. Selamat berlatih!
Contoh 1 – Soal Pembagian Suku Banyak
Sisa pembagian f(x) oleh x2 + 3x – 10 adalah 3x + 2. Jika f(x) dibagi dengan x – 2 maka sisanya adalah ….
A. 9
B. 8
C. 7
D. 6
E. 5
Pembahasan:
Bentuk pembagian f(x) dapat dituliskan seperti dua persamaan di bawah.
f(x) = (x2 + 3x – 10)· H(x) + (3x + 2)
f(x) = (x + 5)( x – 2) · H(x) + (3x + 2)
Selanjutnya, akan ditentukan sisa hasil pembagian f(x) dengan x – 2.
Perhatikan bahwa x – 2 merupakan faktor dari x2 + 3x – 10, sehingga untuk mengetahui sisanya dapat diketahui dengan substitusi k = 2 pada f(x).
f(2) = ( 2 + 5)( 2 – 2) · H(2) + ( 3 · 2 + 2)
= 7 × 0 · H(2) + (6 + 2)
= 0 + 8 = 8
Jadi, sisa pembagian f(x) oleh x – 2 adalah 8.
Jawaban: B
Contoh 2 – Soal Pembagian Suku Banyak
Suatu suku banyak f(x) jika dibagi oleh (x ‒ 1) sisanya adalah 6 dan dibagi (x + 3) sisanya ‒2. Bila f(x) dibagi x2 + 2x ‒ 3 sisanya adalah .…
A. 2x + 4
B. 2x ‒ 4
C. x + 2
D. x ‒ 2
E. 2x + 2
Pembahasan:
Misalkan sisa pembagian f(x) adalah S(x) = ax + b, maka dapat diperoleh persamaan-persamaan berikut.
i) S(1) = 6 → a + b = 6
ii) S(‒3) = ‒2 → ‒3a + b = ‒2
Dari persamaan i) diperoleh a + b = 6 atau a = 6 ‒ b, substitusi nilai a pada persamaan ii) untuk mendapatkan nilai b seperti yang dilakukan pada cara berikut.
‒3a + b = ‒2
‒3(6 ‒ b) + b = ‒2
‒18 + 3b + b = ‒2
4b = ‒2 + 18
4b = 16
b = 16/4 = 4
Menentukan nilai a:
a = 6 ‒ b
a = 6 ‒ 4 = 2
Dimisalkan bahwa S(x) = ax + b = 2x + 4
Jadi, bila f(x) dibagi x2 + 2x ‒ 3 sisanya adalah 2x + 4.
Jawaban: A
Sekian pembahasan mengenai pembagian suku banyak yang dilengkapi dengan contoh soal pembagian suku banyak dan penyelesaiannya. Jika ada bagian yang kurang jelas atau ada bagian yang tidak teliti bisa kasih komentar di kolom komentar di bawah. Terimakasih sudah berkunjung di idschool.net, semoga bermanfaat.
Baca Juga: Transformasi Geometri
Buat pembagian suku banyak cara horner dengan pembagi yang dapat difaktorkan, itu salah jawaban dan caranya. Setelah di kali antara hasil bagi-pembagi-ditambah sisa itu masih salah hasilnya.
Halo Fikar, sudah ada revisi, terimakasih atas koreksi dan kunjungannya. Salam sukses selalu!