Memahami sisa pembagian dan faktor dari suku banyak (polinomial) kini tidak perlu membingungkan. Tanpa harus menggunakan cara pembagian bersusun yang panjang, kamu bisa memanfaatkan teorema sisa dan teorema faktor.
Lantas, bagaimana cara kerja kedua teorema ini dan bagaimana penerapannya dalam soal? Simak ulasan lengkapnya di bawah ini!
Baca Juga: Contoh Soal Jumlah dan Hasil Kali Akar-akar Polinomial
Apa itu Teorema Sisa dan Teorema Faktor?
Teorema Sisa adalah konsep matematika untuk menghitung sisa pembagian suatu polinomial tanpa melakukan pembagian secara penuh.
Teorema Faktor adalah perluasan dari teorema sisa untuk menentukan apakah suatu bentuk linear merupakan faktor dari polinomial tersebut.
Cara Menghitung Sisa Pembagian dengan Teorema Sisa
Teorema sisa menyatakan bahwa jika polinomial f(x) dibagi oleh (x – k), maka sisa pembagian S(x) adalah f(k). Berikut adalah rumus sisa pembagian berdasarkan bentuk pembaginya.
| Pembagi | Sisa pembagian |
| (x – k) | S(x) = f(k) |
| (ax + b) | S(x) = (-b/a) |
| (x – a)(x – b) | S(x) = px + q |
Contoh Soal Teorema Sisa
Soal:
Tentukan sisa pembagian dari f(x) = x2 + 3x + 5 oleh (x + 2)!
Pembahasan:
Pertama, cari pembuat nol dari pembagi yaitu x + 2. Pembuat nol dari pembagi adalah nilai x yang menghasilkan x + 2 = 0.
Sehingga,
x + 2 = 0
x = -2 → maka k = -2
Selanjutnya substitusi nilai k = -2 ke fungsi f(x) sehingga S(x) = f(-2).
S(x) = (-2)2 + 3(-2) + 5
S(x) = 4 – 6 + 5 = 3
Jadi, sisa pembagian dari f(x) oleh (x + 2) adalah 3.
Menentukan Faktor Polinomial dengan Teorema Faktor
Teorema faktor digunakan untuk mengetahui apakah suatu pembagi merupakan faktor dari polinomial. Dalam teorema faktor perlu diingat prinsip utama berikut.
Suatu bentuk linear (x – k) merupakan faktor dari f(x) jika dan hanya jika nilai sisa pembagian f(k) = 0.
Artinya,
* Jika f(k) = 0, maka (x – k) adalah faktor.
* Jika f(k) ≠ 0, maka (x – k) bukan faktor.
Contoh Soal Teorema Faktor
Soal:
Apakah (x – 1) merupakan faktor dari f(x) = x3 – 3x2 + 3x – 1?
Pembahasan:
Pertama, cari pembuat nol dari pembagi yaitu x – 1.
Sehingga,
x – 1 = 0
x = 1 → maka k = 1
Selanjutnya substitusi nilai k = 1 ke fungsi f(x):
f(1) = (1)3 – 3(1)2 + 3(1) – 1
f(1) = 1 – 3 + 3 – 1 = 0
Hasil: karena nilai f(1) = 0 (tidak memiliki sisa pembagian), maka (x – 1) terbukti merupakan faktor dari f(x) = x3 – 3x2 + 3x – 1.
Baca Juga: Kesamaan Variabel pada Suku Banyak (Polinomial)
Contoh Soal dan Pembahsan
Beberapa contoh soal di bawah dapat sobat idschool gunakan untuk menambah pemahaman teorema sisa dan teorema faktor. Setiap soal yang diberikan dilengkapi dengan pembahasannya.
Sobat idschool dapat menggunakan pembahasan tersebut sebagai tolak ukur keberhasilan mengerjakan soal. Selamat Berlatih!
Contoh 1
Suatu suku banyak f(x) dibagi x ‒ 1 sisa 2, dibagi x ‒ 2 sisa 3. Suatu suku banyak g(x) dibagi x ‒ 1 sisa 5, dibagi x ‒ 2 sisa 4. Jika h(x) = f(x) ∙ g(x), maka sisa pembagian h(x) oleh x2 ‒ 3x + 2 adalah ….
A. ‒2x + 12
B. ‒2x + 8
C. ‒x + 4
D. 2x + 8
E. x + 4
Pembahasan:
Dari informasi yang diberikan pada soal dapat diketahui:
* f(x) dibagi x ‒ 1 sisa 2
* f(x) dibagi x ‒ 2 sisa 3
* g(x) dibagi x ‒ 1 sisa 5
* g(x) dibagi x ‒ 2 sisa 4
* h(x) = f(x) ∙ g(x)
Misalkan Q(x) dan S(x) = ax + b berturut-turut adalah hasil bagi dan sisa hasil bagi dari suku banyak h(x) oleh x2 ‒ 3x + 2. Berdasarkan teorema sisa, suku banyak h(x) akan memenuhi persamaan berikut.
h(x) = (x2 ‒ 3x + 2) ∙ Q(x) + S(x)
h(x) = (x ‒ 2)(x ‒ 1) ∙ Q(x) + ax + b
Dari persamaan suku banyak h(x) = (x ‒ 2)(x ‒ 1) ∙ Q(x) + S(x) diketahui bahwa bentuk pembaginya adalah (x ‒ 2)(x ‒ 1). Sehingga dapat bentuk dua persamaan berikut.
Persamaan 1:
h(1) = Sf(x)(1) ∙ Sg(x)(1)
(1 ‒ 2)(1 ‒ 1) ∙ H(1) + (a ∙ 1 + b) = 2 ∙ 5
‒1 ∙ 0 ∙ H(1) + a + b = 10
a + b = 10
Persamaan 2:
h(2) = Sf(x)(2) ∙ Sg(x)(2)
(2 ‒ 2)(2 ‒ 1) ∙ H(2) + ( a ∙ 2 + b) = 3 ∙ 4
0 ∙ 1 ∙ H(2) + 2a + b = 12
2a + b = 12
Menentukan Sisa Pembagian
Diperoleh dua persamaan yaitu a + b = 10 dan 2a + b = 12. Nilai a dan b dapat dicari menggunakan metode substitusi atau metode eliminasi pada penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel (spldv).
Mencari nilai a:
Eliminasi b dari persamaan 1 dan 2.
Mencari nilai b:
substitusi nilai a = 2 pada persamaan a + b = 10 (atau 2a + b = 12)
2 + b = 10
b = 10 ‒ 2
b = 8
Diperoleh nilai a = 2 dan b = 8, serta telah dimisalkan S(x) = ax + b. Sehingga sisa pembagian h(x) oleh x2 ‒ 3x + 2 adalah S(x) = ax + b = 2x + 8.
Jadi, sisa pembagian h(x) oleh x2 ‒ 3x + 2 adalah 2x + 8.
Jawaban: D
Contoh 2
Suku banyak F(x) = x3 – (a – 1)x2 + bx + 2a. Jika F(x) dibagi oleh (x – 2) mempunyai sisa 4 dan tidak mempunyai sisa jika F(x) dibagi (x + 2). Nilai a dan b berturut-turut adalah ….
A. –1 dan –3
B. –1 dan –1
C. –1 dan 3
D. 1 dan –3
E. 1 dan 3
Pembahasan:
Berdasarkan keterangan pada soal diketahui bawah.
* F(x) = x3 – (a – 1)x2 + bx + 2a
* F(x) dibagi (x – 2) mempunyai sisa 4
* F(x) dibagi (x + 2) tidak memiliki sisa
Dari informasi yang diberikan tersebut dapat dibentuk dua persamaan berdasarkan teorema sisa dan teorema faktor seperti berikut.
Persamaan 1:
F(x) dibagi (x – 2) mempunyai sisa 4
F(2) = 23 – (a – 1) · 22 + b · 2 + 2a = 4
8 – 4a + 4 + 2b + 2a = 4
2a – 2b = 8
a – b = 4
a = b + 4
Persamaan 2:
F(x) dibagi (x + 2) tidak memiliki sisa (sama dengan nol).
F(–2) = (–2)3 – (a–1)·(–2)2 + b·(–2)+2a = 0
–8 – 4a + 4 – 2b + 2a = 0
–2a – 2b = 4
a + b = –2
Diperoleh dua persamaan yaitu a = b + 4 dan a + b = –2. Nilai a dan b dapat dicari tahu dengan menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel tersebut.
Menentukan nilai b:
Substitusi a = b + 4 ke persamaan a + b = –2 sehingga dapat diperoleh nilai b seperti berikut.
b + 4 + b = –2
2b = –2 – 4
2b = –6
b = –6/2 = –3
Menentukan nilai a:
a = –3 + 4
a = 1
Jadi, nilai a dan b berturut-turut adalah 1 dan –3.
Jawaban: D
Sekian pembahasan mengenai teorema sisa dan teorema faktor suku banyak. Terima kasi sudah menyimak ulasan teorema sisa dan teorema faktor sampai akhir, semoga bermanfaat!
