Rotasi Berlawanan Arah Jarum Jam Sejauh α = 30, 45, 60, 90, 180

Rotasi berlawanan arah jarum jam merupakan bentuk tranformasi geometri yang memindahkan titik sejauh α secara memutar. Hasil transformasi titik dipengaruhi oleh letak titik pusat dan besar sudut putar. Sebagai contoh, hasil transformasi titik A(1, 2) karena rotasi pada pusat O(0, 0) sejauh α = 90o berlawanan arah jarum jam adalah (–2, 1). Sementara hasil transformasi titik A(1, 2) karena rotasi pada pusat P(1, 1) sejauh α = 90o dengan arah yang sama adalah (–2, 1).

Simbol transformasi geometri rotasi berlawanan arah jarum jam sejauh α adalah R[P; +α]. Titik P merupakan pusat rotasi, tanda + menunjukkan arah rotasi, dan nilai α menyatakan besar sudut rotasi.

Pada detail ulasan di bawah akan dibahas bagaimana cara mendapat rumus rotasi berlawanan arah jarum jam. Untuk rotasi searah jarum jam ada di halaman rumu rotasi searah jarum jam.

Daftar isi:

Baca Juga: Vektor yang Saling Tegak Lurus dan Sejajar

Rumus Rotasi Berlawanan Arah Jarum Jam

Rumus transformasi geometri rotasi dibedakan menjadi dua yaitu saat sudut putar O(0, 0) dan saat sudut putar P(a, b). Kedua rumus tersebut memiliki bentuk seperti berikut.

1) Pada Pusat O(0, 0)

Hasil transformasi titik (x, y) kerena rotasi R[O(0, 0); +αo] memenuhi persamaan matriks transformasi berikut.

Matriks Transformasi Geometeri Rotasi pada Pusat O dengan Besar Sudut A Derajat Berlawanan Arah Jarum Jam

Misalnya pada transformasi geometri titik A(x, y) karena rotasi [RO(0, 0); +90o] menghasilkan titik A’(–y, x). Cara mendapatkannya ditunjukkan melalui operasi persamaan matriks di bawah.

Rotasi R[O(0, 0); +90^o]

Sebagai contoh, hasil rotasi titik K(3, 5) pada pudat O(0, 0) sejauh 90o berlawana arah jarum jam adalah titik K’(–5, 3).

Rotasi Berlawanan Arah Jarum Jam

Dengan cara yang sama dapat diperoleh persamaan umum untuk mendapatkan hasil rotasi pada pusat O(0, 0) sejauh α = 30o, 45o, 60o, 180o, 270o dan besar sudut lainnya.

Tabel rumus rotasi titik (x, y) pada pusat O(0, 0) sejauh α berlawanan arah jarum jam:

RotasiHasil rotasi
R[O; +30o](1/2x√3 – 1/2y, 1/2x + 1/2y√3)
R[O; +45o](1/2x√2 – 1/2√2, 1/2x√2 + 1/2y√2)
R[O; +60o](1/2x – 1/2y√3, 1/2x√3 + 1/2y)
R[O; +90o](–y, x)
R[O; +180o](–x, –y)
R[O; +270o](y, –x)

Baca Juga: Komposisi Transformasi Geometri dengan Matriks

2) Pada Pusat P(a, b)

Hasil transformasi titik (x, y) kerena rotasi R[P(a, b); +αo] memenuhi persamaan matriks transformasi berikut.

Matriks Transformasi Geometeri Rotasi pada Pusat P dengan Besar Sudut A Derajat Berlawanan Arah Jarum Jam

Misalnya, hasil transformasi geometri dari titik A(x, y) karena rotasi R[P(a, b); +90o] adalah itik A'(–y + a + b, x – a + b). Cara mendapatkan koordinat titik tersebut terdapat pada operasi persamaan matriks di bawah.

Matriks Rotasi Pusat P dengan Besar Sudut 90 Derajat Berlawanan Arah Jarum Jam

Contoh: hasil transformasi titik K(3, 5) kerena rotasi R[P(1,−2); +90o] adalah titik K’(–5 + 1 +(−2), 3 − 1 + (−2)) = K’(−6, 0).

Contoh Rotasi

Selanjutya, dengan cara yang sama dapat diperoleh persamaan umum untuk mendapatkan hasil rotasi pada pusat P(a, b) dengan besar sudut rotasi α = 30o, 45o, 60o, 180o, 270o dan besar sudut lainnya.

Secara ringkas, persamaan umum hasil rotasi titik pada pusat P(a, b) dengan besar sudut rotasi α = 30o, 45o, 60o, 90, 180o, dan 270o diberikan seperti tabel berikut.

Tabel Matriks Transformasi Geometeri Rotasi pada Pusat P dengan Besar Sudut A Derajat Berlawanan Arah Jarum Jam

Baca Juga: Transformasi Geometri (Translasi, Refleksi, Rotasi, dan Dilatasi)

Contoh Soal dan Pembahasan

Beberapa contoh soal di bawah dapat sobat idschool gunakan untuk menambah pemahaman terkait bahasan di atas. Setiap contoh soal yang diberikan dilengkapi dengan pembahasannya.

Sobat idschool dapat menggunakan pembahasan tersebut sebagai tolak ukur keberhasilan mengerjakan soal. Selamat berlatih!

Contoh 1 – Rotasi Titik

Titik B (6, 4) dirotasikan 270° berlawanan arah jarum jam terhadap titik pusat (a, b) sehingga diperoleh titik B'(2, –8). Hasil b – 2a adalah ….
A. –2
B. 0
C. 2
D. 4
E. 6

Pembahasan:
Bayangan hasil rotasi dapat dicari menggunakan rumus yang telah diberikan di atas.

Menentukan bayangan absis (x’):

x’ = (x – a) × cos 270o – (y – b) × sin 270o + a

x’ = (6 – a) × 0 – (4 – b) × (–1) + a = 4 – b + a

Menentukan bayangan ordinat (y’):

y’ = (x – a) × sin 270o + (y – b) × cos 270o + b

y’ = (6 – a) × (–1) + (4 – b) × 0 + b = –6 + a + b

Diperoleh persamaan x’ = 4 – b + a dan y’ = –6 + a + b. Diketahui bahwa bayangan titik yang dihasilkan adalah titik B'(2, –8), sehingga dapat diperoleh dua persamaan berikut.

  • 2 = 4 – b + a
    a – b = 2 – 4
    a – b = –2 → a = b – 2
  • –8 = –6 + a + b
    a + b = –8 + 6
    a + b = –2

Substitusi persamaan a = b – 2 ke persamaan a + b = –2 untuk mendapatkan nilai b:

a + b = –2

b – 2 + b = –2

2b = –2 + 2 = 0

b = 0/2 = 0

Menghitung nilai a:

a = b – 2

a = 0 – 2 = –2

Nilai b – 2a = 0 – 2(–2) = 0 + 4 = 4.

Jawaban: D

Contoh 2 – Matriks transformasi

Contoh Soal Rotasi Berlawanan Arah Jarum Jam

Pembahasan:
Komposisi matriks transformasi rotasi berlawanan arah jarum jam pada pusat O(0, 0) sejauh 60o yang dilanjutkan sejauh 30o memenuhi persamaan T = T2 º T1.

Kombinasi Matriks

Jawaban: A

Demikianlah tadi ulasan rotasi berlawanan arah jarum jam dengan besar sudut α = 30, 45, 60, 90, 180 derajat. Terima kasih sudah mengunjungi idschool(dot)net, semoga berlanfaat!

Baca Juga: Barisan Aritmatika dan Geometri

1 thought on “Rotasi Berlawanan Arah Jarum Jam Sejauh α = 30, 45, 60, 90, 180”

  1. Muhartiningsih

    Terima kasih , sangat membantu dlm penyelesaian soal- soal.

Leave a Comment

Your email address will not be published. Required fields are marked *

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.