Persamaan Garis Singgung Lingkaran |

Persamaan garis singgung lingkaran dibedakan dalam 3 kondisi. Kondisi pertama adalah persamaan garis singgung yang melalui satu titik pada lingkaran. Kedua adalah persamaan garis singgung yang melalui satu titik di luar lingkaran. Kondisi ketiga, atau yang terakhir, adalah persamaan garis singgung dengan nilai gradien (m) tertentu. Pembahasan selanjutnya akan dijabarkan pada penjelasan di bawah

Garis Singgung Melalui Suatu Titik pada Lingkaran

Contoh ilustrasi garis singgung lingkaran yang melalui satu titik pada lingkaran dapat dilihat pada gambar di bawah.

Ada 3 (tiga) persamaan umum yang dapat digunakan untuk menentukan garis singgung lingkaran yang melalui satu titik pada lingkaran. Rumus yang akan digunakan tergantung pada bentuk persamaan lingkaran yang diketahui. Jika titik singgung pada lingkaran adalah $(x_{1}, y_{1})$ , maka rumus umum persamaan garis singgung lingkaran yang melalui satu titik dapat dilihat pada tabel di bawah.

Contoh Soal Persamaan Garis Singgung Melalui Satu Titik pada Lingkaran
Tentukan persamaan garis singgung yang melalui satu titik $Q(1, 4)$ pada lingkaran yang memiliki persamaan $( x + 2)^{2} + (y - 3)^{2} = 36$ !.
Pambahasan:
Gunakan rumus nomor 2 (lihat tabel) untuk mencari persamaan garis singgung lingkaran yang melalui satu titik sesuai kondisi di atas.

$( x + 2)(1 - 2) + (y - 3)(4 - 3) = 36$

$( x + 2)(- 1) + (y - 3)(1) = 36$

$-x - 2 + y - 3 = 36$

$-x + y = 51 \rightarrow x - y + 51 = 0$

Jadi, persamaan garis singgung yang melalui satu titik $Q(1, 4)$ pada lingkaran yang memiliki persamaan $( x + 2)^{2} + (y - 3)^{2} = 36$ adalah x – y + 51 = 0.

Baca Juga: Kedudukan Antara 2 Lingkaran

Garis Singgung Melalui Suatu Titik di Luar Lingkaran

Garis singgung yang melalui satu titik di luar lingkaran biasa disebut juga dengan garis singgung kutub atau garis singgung polar. Jika sebuah titik $(x_{1}, y_{1})$ terletak di luar lingkaran, garis singgung dapat dicari dengan menarik garis lurus dari titik tersebut sehingga menyinggung lingkaran. Sehingga, bisa terdapat 2 (dua) garis singgung lingkaran yang melalui titik di luar lingkaran. Contoh ilustrasi persamaan garis singgung di luar lingkaran dapat dilihat pada gambar di bawah.

Langkah-langkah menentukan persamaan garis singgung yang melalui satu titik di luar lingkaran:

Pertama: melakukan pemisalan garis singgung yang akan dicari.
$y - y_{1} = m(x - x_{1})$
dengan m adalah gradien dan $(x_{1}, y_{1})$ adalah titik di luar lingkaran yang dilalui garis singgung.
Ke dua: substitusikan nilai y yang diperoleh pada langkah pertama ke persamaan lingkaran sehingga diperoleh suatu persamaan kuadrat dengan variabel x.
Ke tiga: menghitung nilai diskriminan persamaan kuadrat tersebut. Agar garis menyinggung lingkaran maka nilai D = 0, penjelasan lebih lanjut ada pada materi kedudukan garis terhadap lingkaran.
Ke empat: selesaikan persamaan kuadrat yang diperoleh dari langkah ke tiga untuk mendapatkan nilai m.
Ke lima: substitusikan nilai m pada pemisalan persamaan $y - y_{1} = m(x - x_{1})$ pada langkah pertama.

Contoh Soal Persamaan Garis Singgung Lingkaran Melaluiu Satu Titik di Luar Lingkaran

Tentukan persamaan garis singgung lingkaran yang melalui titik (3, 1) dengan persamaan $x^{2} + y^{2} = 9$ !

Pembahasan:
Sebelumnya, pastikan bahwa titik (3, 1) berada di luar lingkaran. Jika belum tahu caranya bisa disimak pada halaman mengenai kedudukan titik terhadap lingkaran.

$x_{1}^{2} + y_{1}^{2} = 3^{2} + 1^{1} = 9 + 1 =10$

Karena nilai $x_{1}^{2} + y_{1}^{2} = 10 > 9$ maka letak titik (3, 1) berada di luar lingkaran. Selanjutnya, mencari persamaan garis singgung lingkaran yang melalui satu titik di luar lingkaran.

Pertama: memisalkan persamaan garis singgung dengan $y - y_{1} = m(x - x_{1})$ , dengan m adalah gradien garis tersebut dan $(x_{1}, y_{1})$ adalah titik di luar lingkaran yang dilalui garis singgung yang akan dicari.
Pemisalan persamaan garis singgung:
$(y - 1) = m(x - 3)$
$y - 1 = mx - 3m \rightarrow y = mx - 3m + 1$
Ke dua: substitusi nilai $y = mx - 3m + 1$ ke persamaan lingkaran $x^{2} + y^{2} = 9$ untuk mendapatkan persamaan kuadrat yang akan digunakan pada langkah selanjutnya.
Hasil substitusi $y = mx - 3m + 1$ pada persamaan lingkaran $x^{2} + y^{2} = 9$ adalah sebagai berikut.
$x^{2} + y^{2} = 9$
$x^{2} + (mx - 3m + 1)^{2} = 9$
$x^{2} + m^{2}x^{2} - 3m^{2}x + mx - 3m^{2}x + 9m^{2} - 3m + mx - 3m + 1 = 9$
$(m^{2} + 1 )x^{2} - (6m^{2} - 2 m) x + (9m^{2} - 6m + 1) = 9$
Ke tiga: menghitung nilai diskriminan pada persamaan kuadrat yang diperoleh pada langkah ke dua.
Agar garis menyinggung lingkaran maka nilai diskriminan harus sama dengan nol (D = 0). Dari persamaan kuadrat pada langkah ke dua dapat diperoleh
$a = m^{2} + 1$
$b = 6m^{2} - 2m$
$c = 9m^{2} - 6m + 1$
Sehingga,
$D = 0$
$b^{2} - 4ac = 0$
$(6m^{2} - 2m)^{2} - 4(m^{2} + 1)(9m^{2} - 6m + 1) = 0$
$36m^{4} - 24m^{3} + 4m^{2} - 4(9m^{4} - 6m^{3} + 10m^{2} - 6m + 1)= 0$
$36m^{4} - 24m^{3} + 4m^{2} - 36m^{4} + 24m^{3} - 40m^{2} + 24m - 4 = 0$
$-36m^{2} + 24m - 4 = 0$
$9m^{2} - 6m + 1 = 0$
Ke empat: untuk mendapatkan nilai m, selesaikan persamaan kuadrat dengan variabel m yang diperoleh pada langkah ke tiga.
$9m^{2} - 6m + 1 = 0$
$9m^{2} - 3m - 3m + 1 = 0$
$3m(3m -1) - (3m - 1) = 0$
$(3m - 1)(3m -1) = 0$
$(3m - 1)^{2} = 0 \rightarrow m = \frac{1}{3}$
Diperoleh akar kembar $m = \frac{1}{3}$ .
Ke lima: menentukan persamaan garis singgungnya.
Substitusi nilai m yang diperoleh pada langkah ke empat $(m = \frac{1}{3})$ pada pemisalan garis singgung pada langkah pertama $(y = mx - 3m + 1)$ .
$y = mx - 3m + 1$

$y = \left( \frac{1}{3} \right)x - 3\left( \frac{1}{3} \right) + 1$
$y = \frac{1}{3}x - 1 + 1$
$y = \frac{1}{3}x$

Jadi, persamaan garis singgung lingkaran dengan persamaan $x^{2} + y^{2} = 9$ yang melalui titik (3, 1) adalah $y=\frac{1}{3}x$ .

Baca Juga: Persamaan Lingkaran Melalui Tiga Titik

Garis Singgung Lingkaran dengan Gradien Tertentu

Ada 3 (tiga) persamaan umum yang dapat digunakan untuk menentukan garis singgung lingkaran yang diketahui nilai gradiennya. Rumus yang akan digunakan tergantung pada persamaan lingkaran yang diketahui. Jika titik singgung pada lingkaran adalah $(x_{1}, y_{1})$ , maka rumus umum persamaan garis singgung lingkaran yang diketahui nilai gradiennya dapat dilihat pada tabel di bawah.

Contoh Soal Persamaan Garis Singgung Lingkaran Dengan Gradien Tertentu

Sebuah lingkaran memiliki persamaan $x^{2} + y^{2} = 9$ . Jika diketahui gradien garis singgung adalah 2, maka persamaan garis tersebut adalah …

$\textrm{A.} \; \; \; y = 2x + 3 \sqrt{5}$

$\textrm{B.} \; \; \; y = 3x - 2 \sqrt{5}$

$\textrm{C.} \; \; \; y = 3x + 2 \sqrt{3}$

$\textrm{D.} \; \; \; y = 3x - 2 \sqrt{2}$

$\textrm{E.} \; \; \; y = 3x + 2 \sqrt{5}$

Pembahasan:
Rumus persamaan garis singgung jika diketahui nilai gradien untuk persamaan lingkaran $x^{2} + y^{2} = r^{2}$ adalah (lihat tabel, nomor 1),

$y = mx \pm r \sqrt{m^{2} + 1}$

Persamaan garis singgung lingkaran $x^{2} + y^{2} = 9$ dengan gradien m = 2 adalah

$y = 2x \pm 3 \sqrt{2^{2} + 1}$

$y = 2x \pm 3 \sqrt{5}$

Jadi, persamaan garis singgung lingkaran $x^{2} + y^{2} = 9$ dengan gradien m = 2 adalah $y = 2x + 3 \sqrt{5}$ atau $y = 2x - 3 \sqrt{5}$ .

Jawaban: A