3 Cara Menentukan Persamaan Garis Singgung Lingkaran

Persamaan garis singgung lingkaran adalah bahasan tentang bagaimana gayang akan dibahas melalui halaman ini akan dibedakan dalam 3 kondisi. Kondisi pertama adalah persamaan garis singgung yang melalui satu titik pada lingkaran. Kedua adalah persamaan garis singgung yang melalui satu titik di luar lingkaran. Kondisi ketiga, atau yang terakhir, adalah persamaan garis singgung dengan nilai gradien (m) tertentu. Dari tiga kondisi tersebut diperlukan cara yang berbeda untuk masing-masing kondisi dalam menentukan persamaan garis singgung lingkaran.

Selain mengetahui rumus persamaan garis singgung lingkaran. Sobat idschool juga perlu mengetahui kriteria kedudukan titik dan garis terhadap lingkaran. Bahkan, sebelum mempelajari cara mencari persamaan garis singgung lingkaran, sobat idschool sudah mengetahui cara mengetahui kedudukan titik dan garis terhadap lingkaran. Kedudukan titik terhadap lingkaran menunjukkan posisi titik terhadap lingkaran. Posisi tersebut dapat meliputi di dalam lingkaran, pada lingkaran, dan di luar lingkaran.

Baca: 3 Kedudukan Titik Terhadap Lingkaran

Begitu juga dengan kedudukan garis terhadap lingkaran yang terdiri atas garis terhadap lingkaran. Apakah garis memotong lingkaran pada dua titik, garis memotong lingkaran pada satu titik (menyinggung lingkaran), atau garis terletak di luar lingkaran.

Pembahasan tentang kedudukan garis dan titik terhadap lingkaran tidak akan diulas lebih jauh di sini. Sudah ada pembahasan materi tersebut pada halaman lain. Halaman ini akan lebih fokus pada rumus persamaan garis singgung lingkaran. Berikut ini adalah pembahasan selanjutnya mengenai persamaan rumus garis singgung lingkaran.

Garis Singgung Melalui Suatu Titik pada Lingkaran
- Contoh 1:
Garis Singgung Melalui Suatu Titik di Luar Lingkaran
- Contoh 2:
Garis Singgung Lingkaran dengan Gradien Tertentu
- Contoh 3:

Garis Singgung Melalui Suatu Titik pada Lingkaran

Kondidisi pertama persamaan garis singgung lingkaran yang akan dibahas adalah garis singgung melalui suatu titik pada lingkaran. Misalkan sebuah lingkaran dengan pusat P dan diketahui titik Q yang dinyatakan dalam koordinat (x₁, y₁). Selanjutnya akan dicari persamaan garis singgung yang melalui titik Q tersebut. Garis tersebut adalah persamaan garis lingkaran dengan pusat P dan melalui titik Q.

Contoh garis singgung lingkaran yang melalui satu titik pada lingkaran dapat dilihat pada gambar di bawah.

Ada 3 (tiga) persamaan umum yang dapat digunakan untuk menentukan garis singgung lingkaran yang melalui satu titik pada lingkaran. Rumus yang akan digunakan tergantung pada bentuk persamaan lingkaran yang diketahui. Jika titik singgung pada lingkaran adalah (x₁, y₁) maka rumus umum persamaan garis singgung lingkaran yang melalui satu titik dapat dilihat pada tabel di bawah.

Contoh 1:

Contoh cara menentukan persamaan garis singgung lingkaran yang diketahui persamaan lingkaran dan sebuah titik pada lingkaran.

Soal:
Tentukan persamaan garis singgung yang melalui satu titik Q(1, 4) pada lingkaran yang memiliki persamaan (x + 2)² + (y – 3)² = 36!

Pembahasan:
Gunakan rumus nomor 2 (lihat tabel) untuk mencari persamaan garis singgung lingkaran yang melalui satu titik sesuai kondisi di atas.

(x + 2)(1 – 2) + (y – 3)(4 – 3) = 36
(x + 2)(–1) + (y – 3)(1) = 36
–x – 2 + y – 3 = 36
–x + y = 51
x – y + 51 = 0

Jadi, persamaan garis singgung yang melalui satu titik Q(1, 4) pada lingkaran yang memiliki persamaan (x + 2)² + (y – 3)² = 36 adalah x – y + 51 = 0.

Garis Singgung Melalui Suatu Titik di Luar Lingkaran

Garis singgung yang melalui satu titik di luar lingkaran biasa disebut juga dengan garis singgung kutub atau garis singgung polar. Jika sebuah titik (x₁, y₁) terletak di luar lingkaran, garis singgung dapat dicari dengan menarik garis lurus dari titik tersebut sehingga menyinggung lingkaran. Sehingga, bisa terdapat 2 (dua) garis singgung lingkaran yang melalui titik di luar lingkaran.

Contoh ilustrasi persamaan garis singgung di luar lingkaran dapat dilihat pada gambar di bawah.

Langkah-langkah menentukan persamaan garis singgung yang melalui satu titik di luar lingkaran:

Pertama: melakukan pemisalan garis singgung yang akan dicari
Secara umum persamaan garis dapat dinyatakan ke bentuk persamaan y – y₁ = m(x – x₁) dengan m adalah gradien dan (x₁, y₁) adalah titik di luar lingkaran yang dilalui garis singgung.

Kedua:
substitusikan nilai y yang diperoleh pada langkah pertama ke persamaan lingkaran sehingga diperoleh suatu persamaan kuadrat dengan variabel x.

Ketiga:
menghitung nilai diskriminan persamaan kuadrat tersebut, agar garis menyinggung lingkaran maka nilai D = 0 (baca keterangan lebih banyak tentang kedudukan garis terhadap lingkaran)

Keempat:
selesaikan persamaan kuadrat yang diperoleh dari langkah ketiga untuk mendapatkan nilai m.

Kelima:
substitusikan nilai m pada pemisalan persamaan y – y₁ = m(x – x₁) pada langkah pertama sehingga diperoleh suatu persamaan garis lurus.

Contoh 2:

Contoh cara menentukan persamaan garis singgung lingkaran yang diketahui melalui satu titik di luar lingkaran dapat diamati seperti pada penyelesaian soal berikut.

Soal:
Tentukan persamaan garis singgung lingkaran yang melalui titik (3, 1) dengan persamaan x² + y² = 9!

Pembahasan:

Sebelumnya, pastikan bahwa titik (3, 1) berada di luar lingkaran. Jika belum tahu caranya bisa disimak pada halaman mengenai kedudukan titik terhadap lingkaran.

Substitusi titik (3, 1) pada persamaan:
x₁² + y₁² = 3² + 1²= 9 + 1
= 10

Diperoleh nilai hasil substitusi x₁² + y₁² = 10 > 9 sehingga dapat disimpulkan bahwa letak titik (3, 1) berada di luar lingkaran.

Selanjutnya adalah mencari persamaan garis singgung lingkaran:

Misalkan persamaan garis singgung dengan persamaan: y – y₁ = m(x – x₁) dengan m adalah gradien garis
Diketahui titik (3, 1) dan persamaan garis y – y₁ = m(x – x₁) sehingga hasil substitusi titik ke persamaan garis dapat menghasilkan persamaan berikut.
y – y₁ = m(x – x₁)
(y – 1) = m(x – 3)
y – 1 = mx – 3m
y = mx – 3m + 1

Substitusi nilai y = mx – 3m + 1 ke persamaan lingkaran x² + y² = 9
x² + y² = 9
x² + (mx – 3m + 1)² = 9
x² + m²x² – 3m²x + mx – 3m²x + 9m² – 3m + mx – 3m + 1 – 9 = 0
x² + m²x² – 3m²x – 3m²x + mx + mx + 9m² – 3m – 3m + 1 – 9 = 0
x² + m²x² – 6m²x + 2mx + 6m² – 6m – 8 = 0
(1 + m²)x² – (6m² – 2m) x + (9m² – 6m – 8) = 0

Menghitung nilai diskriminan pada persamaan kuadrat yang diperoleh pada langkah kedua.
Agar garis menyinggung lingkaran maka nilai diskriminan harus sama dengan nol (D = 0). Dari persamaan kuadrat pada langkah kedua dapat diperoleh: a = 1 + m², b =–(6m² – 2m) = 2m – 6m², dan c = 9m² – 6m – 8

Sehingga nilai diskriminan dapat ditentukan seperti pada cara berikut:
D = 0
b² – 4ac = 0
(6m² – 2m)² – 4(m² + 1)(9m² – 6m – 8) = 0
36m⁴ – 24m³ + 4m² – 4(9m⁴ – 6m³ – 8m² + 9m² – 6m – 8)= 0
36m⁴ – 24m³ + 4m² – 4(9m⁴ – 6m³ + m² – 6m – 8) = 0
36m⁴ – 24m³ + 4m² – 36m⁴ + 24m³ – 4m² + 24m + 32 = 0
36m⁴ – 36m⁴ – 24m³ + 24m³ + 4m² – 4m² + 24m + 32 = 0
24m + 32 = 0

Dapatkan nilai m dengan menyelesaikan persamaan terakhir uang diperoleh pada langkah 3
24m + 32 = 0
24m = –32
m = –³²/₂₄
m = –⁴/₃

Menentukan persamaan garis singgung lingkaran yang diketahui melalui sebuah titik di luar lingkaran dengan cara substitusi nilai m pada persamaan y = mx – 3m + 1.
y = mx – 3m + 1
y = –⁴/₃x – 3(–⁴/₃) + 1
3y = –4x – 3(–4) + 3
3y = –4x + 12 + 3
3y + 4x = 15
4x + 3y – 15 = 0

Jadi, persamaan garis singgung lingkaran dengan persamaan x² + y² = 9 yang melalui titik (3, 1) adalah 4x + 3y – 15 = 0.

Garis Singgung Lingkaran dengan Gradien Tertentu

Ada 3 (tiga) persamaan umum yang dapat digunakan untuk menentukan garis singgung lingkaran yang diketahui nilai gradiennya. Rumus yang akan digunakan tergantung pada persamaan lingkaran yang diketahui. Ada tiga rumus mencari persamaan garis singgung lingkaran dari tiga persamaan lingkaran yang berbeda.

Berikut ini adalah rumus umum persamaan garis singgung lingkaran untuk tiga bentuk persamaan lingkaran yang berbeda jika diketahui gradien garis singgung (m).

Contoh 3:

Contoh cara menentukan persamaan garis singgung lingkaran jika diketahui nilai gradien garis.

Soal: Sebuah lingkaran memiliki persamaan x² + y² = 9. Jika diketahui gradien garis singgung adalah 2, maka persamaan garis tersebut adalah ….
A. y = 2x + 3√5
B. y = 3x – 2√5
C. y = 3x + 2√3
D. y = 3x – 2√2
E. y = 3x + 2√5

Pembahasan:

Rumus persamaan garis singgung jika diketahui nilai gradien untuk persamaan lingkaran x² + y² = r² ditunjukkan seperti pada rumus nomor 1.

Persamaan garis singgung lingkaran x² + y² = 9 dengan gradien m = 2:

Jadi, persamaan garis singgung lingkaran x² + y² = 9 dengan gradien m = 2 adalah y = 2x + 3√5 atau y = 2x – 3√5.

Jawaban: A

Demikianlah tadi ulasan bagaimana cara menentukan persamaan garis singgung lingkaran untuk berbagai tipe soal. Terima kasih sudah mengunjungi idschool(dot)net, semoga bermanfaat!