Rotasi Searah Jarum Jam Sejauh α +Contohnya

Rotasi searah jarum jam adalah bentuk transformasi suatu objek dengan memutar ke kanan sejauh α (besar sudut). Misalkan sebuah titik terletak pada sumbu y positif memiliki titik koordinat A(0, 2). Hasil rotasi titik A(0, 2) searah jarum jam sejauh 90^o dengan pusat O(0, 0) adalah titik A'(2, 0).

Simbol yang menyatakan rotasi searah jarum jam pada suatu objek adalah R[P; –α]. Titik P menyatakan pusat rotasi, tanda negatif (–) menandakan arah rotasi ke kanan (searah dengan arah gerak jarum jam), dan α menyatakan seberapa jauh putaran yang terjadi.

Untuk rotasi titik A(0, 2) searah jarum jam sejauh 90^o dengan pusat O(0, 0) dapat dinyatakan dalam R[O(0,0); –90^o]. Pada ulasan di bawah akan diberikan penjelasan lebih banyak mengenai rotasi searah jarum jam.

Daftar isi:

• Rumus Rotasi Searah Jarum
  • 1) Titik Pusat O(0, 0)
  • 2) Titik Pusat P(a, b)
• Contoh Soal Rotasi Searah Jarum Jam + Pembahasan
  • Contoh 1 – Hasil akhir rotasi titik E adalah …
  • Contoh 2 – Rotasi garis

Baca Juga: Transformasi Geometri – Translasi, Refleksi, Dilatasi, dan Rotasi

Rumus Rotasi Searah Jarum

Hasil rotasi dengan arah putar searah dengan arah jalan jarum jam (ke kanan) dipengaruhi oleh letak titik pusat dan besar sudut rotasi (α). Bentuk dua rumus rotasi searah jarum jam terdapat pada bahasan berikut.

1) Titik Pusat O(0, 0)

Bentuk umum rumus rotasi suatu titik dengan pusat O(0, 0) yang diputar ke kanan (searah dengan arah jalannya jarum jam) sejauh α dapat dinyatakan dalam persamaan matriks transformasi berikut.

Dari persamaan matriks di atas dapat diketahui bahwa nilai x karena rotasi R[O(0, 0), –α^o] menjadi x’ = x · cos α + y · sin α. Sementara nilai y karena rotasi R[O(0, 0), –α^o] menjadi y’ = –x · sin α + y · cos α.

Misalkan, sebuah titik A(x, y) mengalami transformasi R[O(0, 0); –90^o]. Hasil transformasi titik A(x, y) karena R[O(0, 0); –90^o] adalah A’(x’, y’) dengan x’ = x · cos 90^o + y · sin 90^o = x · 0 + y · 1 = y dan y’ = –x · sin 90^o + y · cos 90^o = –x · 1 + y · 0 = –x.

Diperoleh hasil transformasi titik A(x, y) karena rotasi R[O(0, 0); –90^o] adalah A'(y, –x). Contoh: rotasi titik K(3, 5) karena rotasi sejauh 90^o dengan arah putar searah jarum jam pada pusat O(0, 0) adalah titik K’(5, –3).

Tabel rumus rotasi titik (x, y) karena R[O(0, 0); –α^o] untuk beberapa nilai α:

Baca Juga: Rumus Rotasi Berlawanan Arah Jarum Jam

2) Titik Pusat P(a, b)

Rumus rotasi suatu titik yang diputar ke kanan (searah dengan arah jalannya jarum jam) dengan pusat P(a, b) sejauh α^o atau R[P(a, b); –α^o] memenuhi persamaan matriks transformasi berikut.

Diperoleh hasil transformasi nilai x karena R[P(a, b); –90^o] adalah x’ = (x – a) · cos α + (y – b) · sin α + a. Sementara hasil transformasi nilai y karena rotasi R[P(a, b), –α^o] adalah y’ = –(x – a) · sin α + (y – b) · cos α + b.

Misalkan, sebuah titik A(x, y) mengalami transformasi R[P(a, b); –90^o]. Hasil transformasi titik A(x, y) karena R[P(a, b); –90^o] adalah A’(x’, y’) dengan x’ = (x – a) · cos 90^o + (y – b) · sin 90^o + a = (x – a) · 0 + (y – b) · 1 + a = y – b + a dan y’ = –(x – a) · sin 90^o + (y – b) · cos 90^o + b = –(x – a) · 1 + (y – b) · 0 + b = –x + a + b.

Diperoleh hasil transformasi titik A(x, y) karena rotasi R[P(a, b); –90^o] adalah titik A’(y + a – b, –x+ a + b). Contoh: hasil transformasi titik K(3, 5) karena rotasi R[P(1, −2); –90^o] adalah titik K’(5 + 1 −(−2), −3 + 1 + (−2)) = K’(8, −4).

Kumpulan rumus rotasi titik (x, y) karena R[P(a, b); –α^o] untuk beberapa nilai α terdapat ada tabel berikut.

Baca Juga: Komposisi Matriks Transformasi Geometri

Contoh Soal Rotasi Searah Jarum Jam + Pembahasan

Beberapa contoh soal di bawah dapat sobat idschool gunakan untuk menambah pemahaman terkait bahasan di atas. Setiap contoh soal yang diberikan dilengkapi dengan pembahasannya.

Sobat idschool dapat menggunakan pembahasan tersebut sebagai tolak ukur keberhasilan dalam mengerjakan soal. Selamat berlatih!

Contoh 1 – Hasil akhir rotasi titik E adalah …

Titik E (–1, –2) dirotasikan sebesar 90^o searah jarum jam terhadap titik (–3, 2). Hasilnya dirotasikan lagi sebesar 180^o dengan arah yang sama terhadap titik pusat (–3, 2). Hasil akhir rotasi titik E adalah ….
A. (–7, 0)
B. (0, –4)
C. (1, 4)
D. (4, 1)
E. (7, –4)

Pembahasan:
Rumus transformasi titik A(x, y) karena R[P(a, b); –90^o] adalah titik A’(y + a – b, –x+ a + b). Sedangkan rumus transformasi titik A(x, y) karena R[P(a, b); –180^o] adalah titik A’(–x + 2a, –y + 2b).

Transformasi titik E (–1, –2) karena rotasi R[P(–3, 2), –90^o]:

x’ = y + a – b = –2 + (–3) – 2 = –7

y’ = –x + a + b = –(–1) + (–3) + 2 = 0

Diperoleh hasil transformasi titik E(–1, –2) kerena R[P(–3, 2); –90^o] adalah E'(–7, 0).

Transformasi titik E’ (–7, 0) karena rotasi R[P(–3, 2), –180^o]:

x’ = –x + 2a = –(–7) + 2(–3) = 1

y’ = –y + 2b = 0 + 2(2) = 4

Diperoleh hasil transformasi titik E'(–7, 0) kerena R[P(–3, 2); –180^o] adalah E”(1, 4).

Jadi, hasil akhir rotasi titik E (–1, –2) yang dirotasikan sebesar 90° searah jarum jam terhadap titik (–3, 2) dan dirotasikan lagi sebesar 180° dengan arah yang sama terhadap titik pusat (–3, 2) adalah titik E’’(1, 4).

Jawaban: C

Contoh 2 – Rotasi garis

Jika suatu garis l: x + 2y = 4 dirotasikan 45^o searah jarum jam dengan pusat rotasi titik asal O(0, 0). Hasil rotasi adalah sebuah garis dengan persamaan g: ax + by = c. Nilai a + b + c = ….
A. 8 + 4√2
B. 8 – 4√2
C. 4 + 8√2
D. 4 – 8√2
E. 4 + 6√2

Pembahasan:
Rumus hasil rotasi titik (x, y) karena R[O(0, 0); –45^o] menghasilkan persamaan nilai x’ dan y’ seperti berikut.

• Persamaan (i): x’ = ¹/₂√2x + ¹/₂√2y
• Persamaan (ii): y’ = –¹/₂√2x + ¹/₂√2y

Kurangkan persamaan (i) dan persamaan (ii):

Jumlahkan persamaan (i) dan persamaan (ii):

Diperoleh persamaan x = ¹/₂x’√2 – ¹/₂y’√2 dan y = ¹/₂x’√2 + ¹/₂y’√2. Substitusi nilai x dan y pada persamaan garis ℓ: x + 2y = 4 untuk mendapatkan persamaan garis g yang merupakan persamaan garis hasil rotasi.

Menentukan persamaan garis g:

x + 2y = 4

¹/₂√2x’ – ¹/₂√2y’ + 2(¹/₂√2x’ + ¹/₂√2y’) = 4

¹/₂√2x’ – ¹/₂√2y’ + √2x’ + √2y’ = 4

³/₂√2x’ + ¹/₂√2y’ = 4

3√2x’ + √2y’ = 8

Diperoleh persamaan garis g: 3√2x’ + √2y’ = 8 sehingga nilai a = 3√2, b = √2, dan c = 8. Jadi, nilai a + b + c = 3√2 + √2 + 8 = 8 + 4√2.

Jawaban: A

Demikianlah tadi ulasan rotasi searah jam sejauh α pada pusat O(0, 0) dan P(a, b). Terima kasih sudah mengunjungi idschool(dot)net, semoga bermanfaat!

Baca Juga: Cara Menentukan Vektor yang Saling Sejajar dan Vektor yang Saling Tegak Lurus