Rumus Trigonometri Sudut Rangkap

Dalam materi trigonometri, selain ada rumus jumlah dan selisih dua sudut untuk menghitung nilai suatu sudut yang bukan sudut istimewa terdapat rumus trigonometri sudut rangkap. Seperti halnya rumus jumlah dan selisih dua sudut, rumus sudut rangkap diguanakan untuk menentukan nilai fungsi trigonometri untuk suatu sudut tanpa alat bantu hitung seperti kalkulator atau tabel. Besar sudut yang dicari dengan sudut rangkap pada umumnya bukan merupakan sudut istimewa trigonometri.

Besar sudut yang termasuk dalam sudut istimewa meliputi 30o, 45o, 60o, 90o, dan beberapa sudut istimewa lainnya. Sedangkan contoh sudut yang bukan merupakan sudut istimewa adalah 75o, 105o, dan lain sebagainya. Rumus trigonometri sudut rangkap meliputi 3 persamaan fungsi trigonometri yang meliputi fungsi sin, cos, dan tan sudut rangkap yang sesuai persamaan di bawah.

Rumus Trigonometri Sudut Rangkap

Bagaimanakah penggunaan dari rumus fungsi trigonometri sudut rangkap? Sobat idschool dapat mencari tahu jawabannya melalui ulasan di bawah.

Table of Contents

Tujuan Penggunaan Sudut Rangkap

Rumus sudut rangkap dapat digunakan untuk mempermudah perhitungan dan meminimalkan hafalan dalam mengingat besar nilai fungsi trigonometri. Sebagai contoh, diketahui bahwa sudut 60o merupakan sudut istimewa yang sobat idschool ketahui besar nilai fungsinya yaitu sin 60o = 1/2√3 dan cos 60o = 1/2. Melalui rumus sudut rangkap trigonometri, sobat idschool dapat mengetahui nilai fungsi trigonometri untuk sudut 120o.

Sin 120o = Sin(2 × 60o)

Cos 120o = Cos(2 × 60o)

Rumus sudut rangkap trigonometri juga dapat digunakan untuk membuktikan fungsi trigonometri lainnya. Selain itu juga dapat digunakan untuk menyelesaikan beberapa permasalahan terkait fungsi trigonometri.

Baca Juga: Rumus Fungsi Trigonometri Sudut Pertengahan

Rumus Sudut Rangkap Fungsi Sinus

Persamaan sudut rangkap untuk fungsi sinus dapat dinyatakan melalui sebuah persamaan, yaitu sin 2 alfa sama dengan 2 dikali sin alfa dikali cos alfa. Rumusnya secaea matematis dinyatakana seperti pada persamaan berikut.

Rumus Sinus Sudut Rangkap

Perhatikan bagaimana pembuktian atau asal-usul persamaan rumus di atas.

Bukti:
sin 2α = sin  (α + α)
sin 2α = sin α × cos α + cos α × sin α
sin 2α = sin α × cos α + sin α × cos α
sin 2α = 2 × sin α × cos α [Terbukti]

Contoh penggunaan:

Soal:
Tentukan nilai dari sin 15o × cos 15o!

Pembahasan:
Diketahui bahwa nilai sin 30o = 1/2, nilai sin 15o × cos 15o dapat diperoleh seperi yang ditunjukkan cara berikut.

sin 30o = 2 × sin α × cos α
sin (2 × 15o) = 2 × sin 15o × cos 15o
1/2 = 2 × sin 15o × cos 15o
sin 15o × cos 15o = 1/2 : 2
sin 15o × cos 15o = 1/2 × 1/2 = 1/4

Jadi, nilai dari sin 15o × cos 15o = 1/4

Rumus Sudut Rangkap Fungsi Cosinus

Ada tiga rumus yang dapat digunakan untuk menentukan nilai sudut rangkap cosinus. Ketiga rumus tersebut secara matematis dinyatakan seperti pada persamaan berikut.

Bukti persamaan 1:
cos 2α = cos(α + α)
cos 2α = cos α × cos α – sin α × sin α
cos 2α = cos2α – sin2α

Selanjutnya akan dibuktikan bahwa persamaan kedua dan ketiga adalah persamaan yang benar. Sebelum membuktikan kedua rumus lainnya, ingat kembali rumus identitas trigonometri dari persamaan sin2α + cos2α = 1.

Identitas Trigonometri

Bukti persamaan kedua:
cos 2α = cos2α – sin2α
cos 2α = (1 – sin2α) – sin2α
cos 2α = 1 – sin2α – sin2α
cos 2α = 1 – 2×sin2α

Bukti persamaan ketiga:
cos 2α = cos2α – sin2α
cos 2α = cos2α – (1 – cos2α)
cos 2α = cos2α – 1 + cos2α
cos 2α = cos2α + cos2α – 1
cos 2α = 2 cos2α – 1

[Terbukti] benar untuk ketiga persamaan.

Contoh penggunaan:

Soal:
Tentukan nilai fungsi cosinus untuk sudut 120o dengan memanfaatkan rumus pada sudut rangkap!

Pembahasan:
cos 120o = cos ( 2 × 60o)
cos 120o = cos260o – sin260o
cos 120o = (1/2)2 – (1/2√3)2
cos 120o = 1/4 – 3/4 = –2/4
cos 120o = –2/4
cos 120o = –1/2

Baca Juga: Fungsi Trigonometri dan Sudut Istimewa pada Trigonometri

Rumus Sudut Rangkap Fungsi Tangen

Terdapat sebuah persamaan yang menyatakan persamaan sudut rangkap fungsi tangen yang dinyatakan seperti rumus berikut.

Rumus Tangen Sudut Rangkap

Dari mana persamaan di atas diperoleh? perhatikan pembuktian berikut.

Bukti:
tan 2α = tan(α + α)
tan 2α = tan α + tan α/1 – tan α × tan α
tan 2α = 2 tan α/1– tan2α [Terbukti]

 Contoh penggunaan::

Jika diketahui nilai tan α = 2/3 dan sudut α merupakan sudut lancip maka tentukan nilai tan 2α!

Pembahasan:

Sekian pembahasan mengenai rumus trigonometri sudut rangkap untuk fungsi sinus, cosinus, dan rumus tangen. Terimakasih sudah mengunjungi idschool(dot)net, semoga bermanfaat.

Baca Juga: Rumus Jumlah dan Selisih Dua Sudut

Leave a Comment

Your email address will not be published. Required fields are marked *

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.