Cara Menyelesaikan Persamaan dan Pertidaksamaan Eksponen

Eksponen adalah operasi hitung matematika yang berkaitan dengan bilangan berpangkat. Sehingga dapat disimpulkan bahwa persamaan dan pertidaksamaan eksponen menyatakan fungsi yang melibatkan bentuk bilangan berpangkat. Perbedaan dari persamaan dan pertidaksamaan eksponen terdapat pada tanda hubung yang menghubungkan antar ruas kiri dan kanan. Persamaan eksponen dihubungkan oleh tanda sama dengan (=), sedangkan pertidaksamaan eksponen dihubungkan oleh tanda pertidaksamaan (>, ≤, >, atau ≥).

Cara melakukan perhitungan bilangan yang memiliki pangkat adalah dengan mengalikan bilangan sejenis sebanyak bilangan pangkatnya. Misalnya bilangan 2 dengan pangkat 3 dituliskan 2³, hasil dari bilangan tersebut adalah 2 × 2 × 2 = 8.

Bentuk soal persamaan dan pertidaksamaan eksponen umumnya diberikan dalam bentuk bilangan berpangkat yang memuat variabel. Selanjutnya, pertanyaan yang diberikan adalah menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan eksponen untuk mendapatkan nilai variabel yang memenuhi.

Bagaimana cara menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan eksponen? Sobat idschool dapat mencari tahu lebih lanjut melalui ulasan persamaan dan pertidaksamaan eksponen di bawah.

Table of Contents

• Persamaan Eksponen
• Pertidaksamaan Eksponen
• Contoh Soal Persamaan dan Pertidaksamaan Eksponen
  • Contoh 1 – Soal Persamaan Eksponen
  • Contoh 2 – Soal Pertidaksamaan Eksponen
  • Contoh 3 – Soal Persamaan Eksponen dan Kuadrat

Baca Juga: Bentuk Grafik Fungsi Eksponen

Persamaan Eksponen

Persamaan eksponen ditandai dengan dua fungsi bilangan berpangkat yang dihubungkan dengan tanda sama dengan (=). Misalnya terdapat sebuah bilangan dengan pangkat sebuah fungsi linear dan hasilnya yaitu 3^{2x – 1} = 1.

Bentuk 3^{2x – 1} = 1 merupakan contoh persamaan eksponen. Hasil dari persamaan tersebut adalah nilai x yang memenuhi persamaan,

Nilai x yang memenuhi persamaan eksponen pada contoh di atas adalah x = ½. Di mana susbtitusi nilai x = ½ ke dalam persamaan akan menghasilkan nilai 3^{2(½) – 1} = 3^{1 – 1} = 3⁰ = 1.

Dari mana nilai x tersebut diperoleh? Untuk menyelesaikan persamaan eksponen, sobat idschool perlu mengetahui sifat-sifat yang berlaku pada persamaan eksponen. Daftar beberapa sifat persamaan eksponen terdapat pada persamaan-persamaan berikut.

• a⁰ = 1
• a^–1 = ¹/_a
• a^m × aⁿ = a^{m + n}
• a^m : aⁿ = a^{m – n}
• (a^m)ⁿ = a^{m × n}
• (a^m × aⁿ)p = a^{pm + pn}

Selain mengetahui sifat-sifat eksponen seperti yang diberikan pada bahasan di atas, sobat idschool juga perlu mengetahui sifat fungsi eksponen. Beberapa sifat fungsi eksponen diberikan pada daftar berikut.

• Jika a^f(x) = a^p maka f(x) = p
• Jika a^f(x) = a^g(x) maka f(x) = g(x)

Sifat-sifat pada eksponen dan sifat fungsi eksponen akan membantu sobat idshool dalam menyelesaikan soal persamaan eksponen. Sekarang perhatikan kembali contoh yang diberikan di awal, yaitu 3^{2x – 1} = 1.

Proses mendapatkan nilai x = ¹/₂ dapat dilihat pada contoh cara menyelesaikan persamaan eksponen berikut.

3^{2x – 1} = 1
3^{2x – 1} = 3⁰
2x – 1 = 0
2x = 1
x = ¹/₂

Baca Juga: Pengertian Eksponen

Pertidaksamaan Eksponen

Karakteristik dari pertidaksamaan eksponen dengan dua fungsi bilangan berpangkat yang dihubungkan tanda pertidaksamaan. Bentuk tanda pertidaksamaan tersebut dapat berupa lebih besar (>), lebih besar/sama dengan (≥), lebih kecil (<), atau lebih kecil/sama dengan (≤). Contoh pertidaksamaan eksponen adalah 3^{2x – 1} < 1.

Cara menyelesaikan pertidaksamaan eksponen hampir sama dengan penyelesaian persamaan eksponen. Untuk menyelesaikan soal pertidaksamaan tersebut, sobat idschool juga perlu mengenali beberapa sifat yang berlaku pada pertidaksamaan eksponen.

• Untuk a ≥ 1:
  a^f(x) > a^g(x) → f(x) > g(x)
  a^f(x) ≥ a^g(x) → f(x) ≥ g(x)
  a^f(x) < a^g(x) → f(x) < g(x)
  a^f(x) ≤ a^g(x) → f(x) ≤ g(x)

• Untuk 0 < a < 1:
  a^f(x) > a^g(x) → f(x) < g(x)
  a^f(x) ≥ a^g(x) → f(x) ≤ g(x)
  a^f(x) < a^g(x) → f(x) > g(x)
  a^f(x) ≤ a^g(x) → f(x) ≥ g(x)

Perhatikan contoh menyelesaikan pertidaksamaan eksponen 3^{2x – 1} < 1:
3^{2x – 1} < 1
3^{2x – 1} < 3⁰
2x – 1 < 0
2x < 1
x < ¹/₂

Jadi, nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 3^{2x – 1} < 1 adalah x < ¹/₂

Baca Juga: Cara Menggambar Grafik Fungsi Eksponen

Perbedaan antara persamaan dan pertidaksamaan eksponen terdapat pada hasil akhirnya. Pada persamaan eksponen hasi akhir penyelesaiannya berupa suatu bilangan. Sedangkan hasil akhir dari pertidaksamaan eksponen hasil akhirnya berupa suatu daerah yang memenuhi pertidaksamaan.

Contoh Soal Persamaan dan Pertidaksamaan Eksponen

Beberapa contoh soal di bawah dapat sobat idschool gunakan untuk menambah pemahaman materi persamaan dan pertidaksamaan eksponen. Setiap contoh soal yang diberikan dilengkapi dengan pembahasan soal. Sobat idschool dapat menggunakan pembahasan soal sebagai tolak ukur keberhasilan mengerjakan soal. Selamat berlatih!

Contoh 1 – Soal Persamaan Eksponen

Pembahasan:
Mencari nilai x yang memenuhi dari persamaan eksponen yang diberikan pada soal.

Diketahui bahwa nilai p > q, maka nilai p = 1 dan q = – ¹/₃. Jadi, nilai p + 6q = 1 + 6(– ¹/₃)=1 – 2 = –1.

Jawaban: E

Contoh 2 – Soal Pertidaksamaan Eksponen

Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan eksponen

adalah ….
A. { x | –2 ≤ x ≤ ¹⁰/₃}
B. { x | –¹⁰/₃ ≤ x ≤ 2}
C. { x | x ≤ –¹⁰/₃ atau x ≥ 2}
D. { x | x ≤ –2 atau x ≥ ¹⁰/₃}
E. { x | –¹⁰/₃ ≤ x ≤ –2 }

Pembahasan:
Menyelesaikan pertidaksamaan:

Pembuat nol: 3x² + 4x – 20 = 0

Menyelesaikan persamaan kuadrat:
3x² + 4x – 20 = 0
(3x + 10)(x – 2) = 0
3x + 10 = 0 atau x – 2 = 0
x = –¹⁰/₃  atau  x = 2

Menentukan daerah penyelesaian yang memenuhi pertidaksamaan:

Dengan melakukan uji daerah pada garis bilangan akan diperoleh daerah yang menghasilkan nilai positif dan negatif. Selanjutnya dapat diperoleh penyelesaian dari pertidaksamaan yang diberikan pada soal adalah x ≤ –¹⁰/₃  atau  x ≥ 2.

Jawaban : C

Baca Juga: Pertidaksamaan Kuadrat dan Himpunan Penyelesaiannya

Contoh 3 – Soal Persamaan Eksponen dan Kuadrat

Akar – akar persamaan 2⋅3^4x – 20⋅3^2x + 18 = 0 adalah x₁ dan x₂. Nilai x₁ + x₂ = ….
A.   0
B.   1
C.   2
D.   3
E.   4

Pembahasan:
Misalkan: p = 3^2x maka dapat diperoleh bentuk persamaan yang ekuivalen dengan bentuk 2⋅3^4x – 20⋅3^2x +18 = 0 dalam variabel p seperti berikut.

2⋅3^4x – 20⋅3^2x +18 = 0
2(3^2x)² – 20 (3^2x) + 18 =  0
2p² – 20p + 18 = 0
p² – 10p + 9 =  0

Nilai p dapat ditentukan dengan cara pemfaktoran:
(p – 9)(p – 1) = 0
p = 9 atau p = 1

Mencari nilai x untuk p = 9:
p = 9
3^2x = 3²
2x = 2
x = ²/₂ = 1

Mencari nilai x untuk p = 1:
p = 1
3^2x = 3⁰
2x = 0
x = ⁰/₂ = 0

Jadi, nilai x₁ + x₂  =  0 + 1  =  1.

Jawaban : B

Demikianlah ulasan materi cara menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan eksponen. Terima kasih telah mengunjungi idschool(dot)net, semoga bermanfaat.

Baca Juga: Bentuk – Bentuk Soal Persamaan Logaritma yang Sering Diberikan pada Soal Ujian