Perkalian Vektor

Bahasan perkalian vektor dapat berupa perkalian vektor dengan suatu skalar atau perkalian vektor dengan vektor. Pengertian dari vektor sendiri adalah besaran yang memiliki nilai dan arah. Sedangkan besaran yang hanya memiliki nilai saja disebut skalar. Hasil dari perkalian vektor adalah vektor yang mengalami perubahan sehingga dapat dikatakan menjadi vektor baru. Perubahan yang terjadi dari perkalian skalar vektor dapat lebih panjang, lebih pendek, atau sama dengan vektor awal.

Perkalian skalar vektor juga dapat mengubah arah vektor awal, bisa searah atau berlawanan. Misalnya pada perkalian skalar vektor dengan nilai skalar k = 2 akan menghasilkan vektor yang memiliki ukuran 2 kali vektor awal.

Bagaimana cara melakukan perkalian vektor dengan skalar? Bagaimana cara perkalian vektor dengan vektor? Sobat idscool dapat mencari tahu jawabannya melalui ulasan di bawah.

Table of Contents

• Perkalian Vektor dengan Skalar
• Perkalian Vektor dengan Vektor
• Contoh Soal dan Pembahasan
  • Contoh 1 – Soal Perkalian Vektor
  • Contoh 2 – Soal Perkalian Vektor

Perkalian Vektor dengan Skalar

Perkalian skalar dengan suatu vektor dapat digambarkan secara geometri. Misalkan terdapat k yang merupakan anggota bilangan real dan terdapat vektor a yang meruakan sebuah vektor. Hasil perkalian skalar k dengan vektor a ditulis sebagai k · a. Arti penulisan k · a memiliki arti bahwa suatu vektor yang memiliki panjang k kali panjang vektor a.

Hasil perkalian vektor dengan skalar dapat memiliki beberapa kemungkinan bergantung nilai skalar k yang menjadi faktor pengali. Beberapa kemungkinan yang dapat terjadi pada perkalian vektor dengan skalar diberikan seperti pada pada beberapa nilai k berikut.

Untuk k > 1 maka k · a searah dengan vektor a dan diperpanjang.

Untuk k = 1 maka k · a sama dengan vektor a.

Untuk 0 < k < 1 maka k · a searah dengan panjang vektor a yang lebih diperpendek

Untuk -1 < k < 0 maka k · a berlawanan arah dengan panjang vektor a yang lebih diperpendek

Untuk k = -1 maka k · a berlawanan arah dengan panjang yang sama

Untuk k< -1 maka k · a berlawanan arah dengan vektor a dan lebih panjang

Perkalian vektor denga skalar juga dapat dilakukan secara aljabar yaitu dengan cara mengalikan semua unsur pada vektor dengan nilai pengalinya. Jika k adalah suatu konstanta real dan diketahui koordinat vektor a maka vektor b yang merupakan hasil perkalian antara k dan vektor a dituliskan sebagai b = k · a

Sebagai contoh:terdapat skalar dengan nilai k = 2 dan vektor a = 2x + 3y – 5z, perkalian vektor a dengan skalar k dapat dilakukan seperti cara berikut.
b = k · a
b = 2 · (2x + 3y – 5z)
b = 4x + 6y – 10z

Perkalian vektor dengan skalar memiliki beberapa sifat yang diberikan seperti pada daftar berikut.

Baca Juga: Perbandingan Vektor pada Sebuah Ruas Garis

Perkalian Vektor dengan Vektor

Perkalian vektor dengan vektor dibedakan untuk perkalian silang (cross product) dan perkalian titik (dot product). Kedua jenis perkalian memiliki aturan yang perlu diikuti, sobat idschool hanya perlu mengikuti bagaimana aturan yang berlaku.

Untuk bahasan di bawah merupakan perkalian dot vektor.

Operasi perkalian vektor dengan vektor dilakukan dengan cara mengalikan semua bilangan dengan arah yang sama. Misalnya diketahui suatu vektor dinyatakan dalam persamaan vektor u = 3i + 8j + k dan vektor lain katakanlah vektor v = i + 5j + 2k. Pada dua contoh persamaan vektor yang diberikan memiliki arah yang dinyatakan dalam i, j, dan k. Arah yang sama ditunjukkan oleh huruf yang sama seperti i dengan i, j dengan j, atau k dengan k.

Secara umum, rumus perkalian vektor dengan vektor dinyatakan seperti pada persamaan-persamaan di bawah

1) Perkalian skalar dua vektor di ruang dimensi dua:

2) Perkalian skalar dua vektor di ruang dimensi tiga:

Perkalian antara dua vektor memenuhi sifat-sifat perkalian berikut.

Pada perkalian vektor a dan vektor b membentuk suatu sudut yang besarnya dipengaruhi oleh panjang vektor keduanya. Jika besar sudut antara vektor a dan vektor b diketahui maka perkalian kedua vektor tersebut dapat dihitung dengan rumus berikut.

Baca Juga: Cara Menentukan Vektor yang Saling Sejajar dan Tegak Lurus

Contoh Soal dan Pembahasan

Beberapa contoh di bawah dapat sobat idschool gunakan untuk menambah pemahaman bahasan di atas. Setiap contoh soal yang diberikan dilengkapi dengan pembahasannya. Sobat idschool dapat menggunakan pembahasan tersebut sebagai tolak ukur keberhasilan mengerjakan soal. Selamat Berlatih!

Contoh 1 – Soal Perkalian Vektor

Diketahui vektor a = 5i + 3j – 8k dan vektor b = 3i + 4j – 2k. Hasil kali skalar vektor a · b adalah ….
A. 11
B. 27
C. 33
D. 43
E. 53

Pembahasan:

Menghitung hasil kali skalar vektor a · b:
a · b = 5 × 3 + 3 × 4 + (–8) × (–2)
= 15 + 12 + 16
= 43

Jawaban: D

Contoh 2 – Soal Perkalian Vektor

Jika diketahui nilai panjang vekor | p | = 2, | q | = 3, | p ‒ q | = √7 maka nilai | p + q | adalah ….
A. √13
B. √15
C. √17
D. √19
E. √21

Pembahasan:

Mencari nilai 2pq:
| p ‒ q | = √7
| p ‒ q |² = 7
| p || p | ‒ 2 | p | | q | + | q | | q | = 7
2 × 2 ‒ 2 | p || q | + 3 × 3 = 7
4 – 2 | p || q | + 9 = 7
2 | p || q | = 9 + 4 – 7
2 | p || q | = 6

Mencari nilai | p + q |:
| p + q |² = p || p | + 2 | p | | q | + | q | | q |
| p + q |² = 2² + 6 + 3²
| p + q |² = 4 + 6 + 9
| p + q |² = 19
| p + q | = √19

Jawaban: D

Baca Juga: Proyeksi Skalar dan Proyeksi Vektor Ortogonal