Perkalian Silang Vektor (Cross Product: a × b)

Perkalian vektor terdiri dari dua macam yaitu perkalian titik dan perkalian silang vektor. Perbedaan dari 2 jenis perkalian vektor perkalian terletak pada cara mengalikan dan hasilnya. Perkalian titik vektor (dot product) menghasilkan skalar berupa suatu nilai saja. Sementara perkalian silang vektor (cross product) menghasilkan suatu vektor berupa persamaan yang memiliki nilai bilangan dan arah. Kesimpulannya, perkalian vektor dan vektor dapat menghasilkan sebuah skalar atau sebuah vektor baru, bergantung dari jenis perkalian yang dilakukan.

Pada aturan perkalian silang vektor (vector cross product) menghasilkan sebuah vektor baru yang tegak lurus dengan vektor yang dioperasikan. Misalnya pada perkalian silang vektor a dan vektor b menghasilkan vektor c = a × b. Vektor c dari hasil perkalian tersebut adalah vektor yang tegak lurus dengan vektor a, selain itu vektor c juga tegak lurus dengan vektor b.

Perkalian Silang Vektor - Cross Product

Baca Juga: Cara Menghitung Panjang Vektor AB

Secara geometris, sebuah vektor dipandang sebagai obyek berupa ruas garis berarah. Sebuah vektor digambarkan sebagai sebuah anak panah yang memiliki ujung dan pangkal. Titik pangkal vektor merupakan titik awal letak vektor, sedangkan titik ujung vektor merupakan titik akhir vektor.

Vektor Secara Geometris

Sebuah vektor yang berawal di titik A dan berakhir di titik B disebut vektor AB dengan panjang vektor sama dengan panjang ruas garis AB. Panjang ruang garis AB sama dengan jarak titik A ke titik B yang dinyatakan dalam simbol |AB| yang dibaca panjang vektor AB.

Vektor yang tegak lurus dengan vektor a dan vektor b merupakan vektor hasil perkalian silang antara kedua vektor tersebut. Bagaiamana cara melakukan perkalian silang vektor a × b? Sobat idschool dapat mencari tahu jawabannya melalui ulasan di bawah.

Table of Contents

Kaidah Tangan Kanan untuk Menentukan Arah Vektor

Penentuan arah vektor pada perkalian silang dapat menggunakan kaidah tangan kanan yang melibatkan telapak tangan, empat jari, dan jempol/ibu jari. Di mana, telapak tangan menuju arah vektor pertama yang akan dikalikan dan empat jari menuju arah vektor kedua. Kemudian, arah vektor satuan hasil perkalian ditunjukkan oleh ibu jari.

Gambaran arah vektor a, vektor b, serta vektor yang tegak lurus dengan kedua vektor sesuai pada kondisi tiga vektor berikut.

Cross Product

Arahkan empat jari mengikuti arah vektor a, kemudian lipatlah keempat jarimu dari arah vektor a ke arah vektor b melalui sudut terkecil. Ibu jari menunjuk arah vektor c yang menjadi vektor hasil perkalian silang vektor a cross vektor b.

Dengan cara yang sama, hasil perkalian silang vektor b dan vektor a (b × a) akan berbeda dengan hasil perkalian silang vektor a dan vektor b (a × b). Sehingga, perkalian silang vektor tidak memenuhi sifat komutatif.

Sifat-sifat perkalian silang atau Cross Product sesuai pada daftar berikut.

  1. Tidak berlaku sifat komutatif: a × b ≠ b × a
  2. Berlaku sifat anti komutatif: a × b = – b × a
  3. Persamaan untuk kedua vektor a dan b saling tegak lurus: |a × b| = a · b
  4. Persamaan untuk kedua vektor a dan b searah: |a × b| = 0
  5. Untuk vektor a dan vektor b berlawanan arah: |a × b| = 0

Baca Juga: 4 Metode Penjumlahan Vektor

Cara Menentukan Arah Hasil Perkalian Silang Vektor i, j, k

Cross product atau hasil kali silang merupakan hasil kali antara dua vektor di ruang dimensi tiga (R3) yang menghasilkan vektor tegak lurus terhadap kedua vektor yang dikalikan. Atau dapat juga dikatakan bahwa perkalian silang antara dua vektor akan menghasilkan vektor baru yang arahnya tegak lurus dengan masing-masing vektor. Persamaan yang memenuhi pengertian dari perkalian silang vektor adalah |a × b| = |a| · |b| sin θ (a, b).

Perkalian Silang Vektor atau Vector Cross Product

Dalam perkalian silang vektor, selain perkalian nilai perlu juga untuk memperhatikan hasil perkalian arah. Vektor dalam dimensi tiga ditunjuk oleh tiga sumbu yaitu sumbu x, y, dan z. Ketiga sumbu tersebut masing-masing saling tegak lurus satu sama lain.

Simbol arah vektor dalam dimensi tiga umumnya ditulis dengan i (searah sumbu x), j (searah sumbu y), dan k (searah sumbu z). Sudut yang dibentuk antara vektor satuan i, j, dan k adalah 90o (karena saling tegak lurus).

Vektor Satuan pada Dimensi Tiga

Beradasarkan persamaan yang berlaku pada perkalian silang vektor dapat diperoleh dua kesimpulan.

Pertama adalah perkalian silang antara vektor satuan yang sejenis menghasilkan nilai nol karena sudut yang terbentuk adalah 0o dan nilai sin 0o = 0. Sehingga, perkalian vektor satuan yang sejenis akan sama dengan nol.

  • i × i = |i|·|i| · sin 0o= 0
  • j × j = |j|·|j| · sin 0o = 0
  • k × k = |i|·|i| · sin 0o = 0

Kedua, perkalian silang antara vektor satuan yang tidak sejenis menghasilkan arah vektor satuan yang berbeda. Cara menentukan arah vektor satuan i, j, k dapat dilakukan melalui sebuah lingkaran dengan arah vektor satuan i, j, dan k. Urutan perkalian pada lingkaran yang searah dengan putaran jarum jam menghasilkan nilai arah positif. Sedangkan urutan perkalian yang berlawanan arah dengan putaran jarum jam menghasilkan nilai arah negatif.

Penjelasan lebih lanjut diberikan melalui keterangan gambar di bawah.

Cara Menentukan Arah Vektor Satuan

Baca Juga: Cara Mencari Vektor Satuan

Penggunaan perkalian arah berguna untuk menyelesaikan soal perkalian silang seperti berikut.

Soal:
Diketahui vektor satuan a = 2i – j dan b = 3i, tentukan perkalian silang vektor satuan a dan b!

Contoh Soal Perkalian Silang Vektor

Rumus Umum Perkalian Silang Vektor

Cara melakukan perkalian silang vektor pada dimensi tiga dapat dicari menggunakan metode determinan matriks. Sebagai contoh, misalnya vektor c adalah hasil perkalian silang antara vektor a = axi + ayj + azk dan b = bxi + byj + bzk.

Maka rumus umum perkalian silang vektor untuk vektor c = vektor a × vektor b dapat diperoleh melalui persamaan di bawah.

Rumus Umum Perkalian Silang Vektor

Atau, rumus umum perkalian silang vektor a = axi + ayj + azk dan vektor b = bxi + byj + bzk juga dapat dinyatakan melalui persamaan umum berikut.

a = axi + ayj + azk
b = bxi + byj + bzk
a × b = (aybz – azby)i + (azbx – axbz)j + (axby – aybx)k

Baca Juga: Cara Menghitung Resultan Vektor 3 Arah Secara Analitis

Penggunaan rumus umum tersebut dapat digunakan untuk menyelesaikan soal seperti berikut.

Soal: Diketahui vektor a = 3i + j + 2k dan b = –j + 2k. Tentukan vektor yang tegak lurus dengan kedua vektor tersebut!

Diketahui:
Vektor a = 3i + j + 2k
Vektor b = –j + 2k
Sehingga dapat diperooleh nilai berikut ax = 3; ay = 1; az = 2; bx = 0; by = –1; dan bz = 2

Vektor yang tegak lurus dengan vektor a dan vektor b merupakan vektor hasil dari perkalian silang a × b. Sehingga, vektor yang tegak lurus dengan keduanya dapat diperoleh seperti pada cara penyelesaian berikut.

Misalkan, vektor c adalah vektor yang tegak lurus dengan vektor a dan vektor b. Vektor c dapat ditentukan melalui persamaan vektor c = a × b yaitu perkalian silang (cross product) antara vektor a dan vektor b.

Menentukan perkalian silang vektor a dan vektor b:
a × b = (aybz – azby)i + (azbx – axbz)j + (axby – aybx)k
a × b = (1 · 2 – 2 · (–1))i + (2 · (0) – 3 · 2)j + (3 · (– 1) – 1 · 0)k
a × b = (2 – (–2))i + (0 – 6)j + (–3 – 0)k
a × b = (2 + 2)i + (– 6)j + (–3)k
a × b = 4i – 6j –3k

Jadi, vektor yang tegak lurus dengan vektor a = 3i + j + 2k dan vektor b = –j + 2k adalah vektor c = a × b = 4i – 6j –3k.

Demikianlah tadi ulasan materi perkalian silang vektor atau vector cross product yang meliputi rumus umumnya dan proses melakukan perkalian silang vektor. Terimakasih sudah mengunjungi idschool(dot)net, semoga bermanfaat.

Baca Juga: Perbandingan Vektor (Dalam dan Luar)

2 comments

  1. Kak, mau tanya itu kenapa persamaan untuk kedua vektor a dan b saling tegak lurus: |a × b| = a · b?
    Bukannya jika a dan b saling tegak lurus maka a.b=0 dan |a×b|=|a| |b|?
    maaf jika saya salah.

    1. Halo aiugeum, yang dimaksud soalnya adalah vektor yang tegak lurus dengan vektor a dan vektor b, bukan vektor a yang tegak lurus dengan vektor b. Terima kasih komentar dan kunjungannya, salam sukses selalu!

Leave a Reply

Your email address will not be published.

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.