Bentuk Ekuivalen Pernyataan Majemuk

By | July 7, 2020

Ekuivalen secara umum dinyatakan dalam arti mempunyai nilai/ukuran/makna yang sama atau seharga. Kondisi ini bukan berarti bahwa ekuivalen dan sama dengan adalah hal yang sama. Pengertian sama dengan mengarah pada kondisi yang menunjukkan sama dan setara. Sedangkan ekuivalen memiliki kondisi lebih luas dari pengertian sama dengan. Misalkan nilai beras dengan berat dan jenis yang sama akan memiliki nilai yang sama dengan beras dan jenis yang sama pula. Sedangkan ekuivalen lebih cocok untuk menggambarkan nilai yang sama/seharga. Misalnya harga 1 kilogram beras ekuivalen dengan 1 kilogram singkong. Notasi yang digunakan untuk menyatakan bentuk ekuivalen pernyataan majemuk adalah ≡ (dibaca: identical to/setara).

Dalam bahasan logika matematika, terdapat pernyataan yang saling ekuivalen. Perhatikan pernyataan Saya mampu mengerjakan soal matematika. Selanjutnya perhatikan pernyataan Saya bukan tidak mampu mengerjakan soal matematika. Kedua pernyataan tersebut terlihat berbeda, namu sebenarnya memiliki pernyataan yang sama. Contoh lain pada pernyataan majemuk: Jika saya pergi ke sekolah naik bus maka saya sampai sekolah tepat waktu dan Jika saya tidak sampai sekolah tepat waktu maka saya pergi ke sekolah tidak naik bus atau. Dua pernyataan tersebut merupakan bentuk ekuivalen pernyataan majemuk.

Bentuk Ekuivalen Pernyataan Majemuk

Dua contoh pernyataan majemuk di atas merupakan implikasi dan bentuk kontraposisinya. Sebagaimana diketahui bahwa suatu implikasi ekuivalen dengan bentuk kontraposisinya. Bagaimana cara mengetahui dua pernyataan majemuk yang saling ekuivalen? Jawaban dari pertanyaan tersebut dapat sobat idschool cari tahu melalui ulasan di bawah.

Baca Juga: Konvers, Invers, dan Kontraposisi dari Suatu Implikasi

Ekuivalen Pernyataan Majemuk

Sebuah pernyataan majemuk bisa jadi memiliki lebih dari satu pernyataan yang ekuivalen. Perhatikan kembali contoh pernyataan majemuk Jika saya pergi ke sekolah naik bus maka saya sampai sekolah tepat waktu. Bentuk ekuivalen dari pernyataan majemuk tersebut adalah Jika saya tidak sampai sekolah tepat waktu maka saya pergi ke sekolah tidak naik bus atau.

Selain itu, terdapat bentuk ekuivalen lain untuk contoh pernyataan majemuk tersebut. Contoh bentuk ekuivalen lain untuk contoh tersebut adalah Saya pergi kesekolah tidak naik bus atau saya sampai sekolah tepat waktu.  

Dalam simbol logika matematika, pernyataan – pernyataan tersebut diberikan seperti daftar berikut.

  • p : Saya pergi ke sekolah naik bus.
  • q : Saya sampai sekolah tepat waktu.
  • Jika saya pergi ke sekolah naik bus maka saya sampai sekolah tepat waktu. (p → q)
  • Jika saya sampai sekolah tidak tepat waktu maka saya pergi ke sekolah tidak naik bus. (~q → ~p)
  • Saya pergi ke sekolah tidak naik bus atau saya sampai sekolah tepat waktu. ~p ∨ q

Baca Juga: Logika Matematika (Konjungsi, Disjungsi, Implikasi, dan Biimplikasi)

Bagaiaman sobat idschool dapat mengetahui bahwa pernyataan – pernyataan majemuk tersebut saling ekuivalen? Untuk mengetahuinya, simak bahasan cara membuktikan ekuivalen pernyataan majemuk berikut.

Cara Membuktikan Ekuivalen Pernyataan Majemuk

Dua pernyataan dikatakan ekuivalen (sama) jika kedua pernyataan majemuk tersebut mempunyai nilai kebenaran yang sama. Sehingga, untuk melihat keabsahan dua pernyataan majemuk yang saling ekuivalen dapat dilihat melalui tabel kebenaran. Sebagai contoh akan diselidiki tiga pernyataan majemuk yang menjadi contoh sebelumnya.

Diberikan dua proposisi tunggal p = Saya pergi ke sekolah naik bus dan q : Saya sampai sekolah tepat waktu.

Akan diselidiki ekuivalensi dari tiga pernyataan majemuk berikut.

  • p → q: Jika saya pergi ke sekolah naik bus maka saya sampai sekolah tepat waktu.
  • ~q → ~p: Jika saya sampai sekolah tidak tepat waktu maka saya pergi ke sekolah tidak naik bus saya.
  • ~p ∨ q: Saya pergi kesekolah tidak naik bus atau saya sampai sekolah tepat waktu.

Perhatikan tabel kebenaran berikut.

Cara Membuktikan Ekuivalensi dari Suatu Pernyataan Majemuk

Perhatikan pada ketiga kolom p → q, ~q → ~p, dan ~p ∨ q! Ketiga kolom tersebut memiliki nilai kebenaran yang sama. Kondisi ini menjadi bukti bahwa pernyataan – pernyataan majemuk tersebut saling ekuivalen.

Baca Juga: Cara Melengkapi Tabel Kebenaran Logika Matematika

Hukum proposisi berikut akan bermanfaat untuk membuktikan ekuivalensi dua buah proposisi.

  1. Hukum Involusi: ~(~𝑝) ≡ 𝑝
  2. Hukum De Morgan:
    ∼ ( 𝑝 ∨ 𝑞) ≡ ∼ 𝑝 ∧ ∼ 𝑞 ∼ ( 𝑝 ∧ 𝑞) ≡ ∼ 𝑝 ∨ ∼ 𝑞
  3. Hukum Identitas:
    𝑝 ∨ 𝑆 ≡ 𝑝
    𝑝 ∧ 𝐵 ≡ 𝑝
  4. Hukum Absorpsi:
    𝑝 ∨ ( 𝑝 ∧ 𝑞) ≡ 𝑝
    𝑝 ∧ (𝑝 ∨ 𝑞) ≡ 𝑝
  5. Hukum Null (Dominisasi):
    𝑝 ∧ 𝑆 ≡ 𝑆
    𝑝 ∨ 𝐵 ≡ 𝐵
  6. Hukum Komutatif:
    𝑝 ∨ 𝑞 ≡ 𝑞 ∨ 𝑝
    𝑝 ∧ 𝑞 ≡ 𝑞 ∧ 𝑝
  7. Hukum Negasi:
    𝑝 ∧∼ 𝑝 ≡ 𝑆
    𝑝 ∨∼ 𝑝 ≡ 𝐵
  8. Hukum Asosiatif:
    𝑝 ∨ ( 𝑞 ∨ 𝑟) ≡ (𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟
    𝑝 ∧ ( 𝑞 ∧ 𝑟) ≡ (𝑝 ∧ 𝑞) ∧ 𝑟
  9. Hukum Idempoten:
    𝑝 ∨ 𝑝 ≡ 𝑝
    𝑝 ∧ 𝑝 ≡ 𝑝
  10. Hukum Distributif:
    𝑝 ∨ ( 𝑞 ∧ 𝑟) ≡ ( 𝑝 ∨ 𝑞) ∧ (𝑝 ∨ 𝑟)
    𝑝 ∧ ( 𝑞 ∨ 𝑟) ≡ ( 𝑝 ∧ 𝑞) ∨ (𝑝 ∧ 𝑟)

Ekuivalensi pernyataan majemuk lainnya:

  1. p → q ≡ ~p ∨ q
  2. p → q ≡ ~q → ~p
  3. ~(p → q) ≡ p ∧ ~q
  4. p → (q → r) ≡ (p ∧ q) → r
  5. p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
  6. p ↔ q ≡ (~p ∨ q) ∧ (~q ∨ p)
  7. p ↔ q ≡ (p ∧ q) ∨ (~p ∧ ~q)
  8. ~(p ↔ q) ≡ p ↔ ~q

Baca Juga: Negasi Pernyataan Majemuk (Konjungsi, Disjungsi, Implikasi, dan Biimplikasi)

Contoh Soal dan Pembahasan

Beberapa contoh soal menentukan pernyataan majemuk berikut akan menambah pemahaman materi.

Contoh 1: Menentukan Pernyataan Majemuk yang Ekuivalen

Pernyataan yang ekuivalen dengan pernyataan “Jika semua siswa hadir, maka beberapa guru tidak hadir” adalah ….
A. Beberapa siswa tidak hadir atau beberapa guru hadir
B. Semua siswa tidak hadir atau beberapa guru tidak hadir
C. Beberapa siswa tidak hadir atau beberapa guru tidak hadir
D. Beberapa siswa tidak hadir atau semua guru tidak hadir
E. Semua siswa hadir dan beberapa guru hadir

Pembahasan:

Misalkan:

  • p = Semua siswa hadir
  • q = Beberapa guru tidak hadir

Negasi dari kedua proposisi tunggal di atas adalah:

  • ~p = Beberapa siswa tidak hadir
  • ~q = Semua guru hadir

Pernyataan: p → q

Salah satu bentuk pernyataan yang ekuivalen denga p → q adalah ~p ∨ q.

Jadi, pernyataan yang ekuivalen dengan pernyataan “Jika semua siswa hadir, maka beberapa guru tidak hadir” adalah “Beberapa siswa tidak hadir atau beberapa guru tidak hadir.”

Jawaban: C

Contoh 2: Menentukan Pernyataan Majemuk yang Ekuivalen

Pernyataan ~p → q ekuivalen dengan ….
A. p ∧ q
B. p ∨ q
C. ~p ∨ q
D. p ∨ ~q
E. q → p

Pembahasan:

Mencari pernyataan majemuk yang ekuivalen dengan p → q:

p → q ≡ ~[~(~p → q)]
p → q ≡ ~[~p ∧ ~q]
p → q ≡ ~(~p) ∨ ~(~q)
p → q ≡ p ∨ q

Jadi, pernyataan ~p → q ekuivalen dengan p ∨ q.

Jawaban: B

Contoh 3: Menentukan Pernyataan Majemuk yang Ekuivalen

Contoh Soal Bentuk Ekuivalen Pernyataan Majemuk

Pembahasan:

Pernyataan yang senilai adalah bentuk ekuivalen pernyataan. Pernyataan yang diberikan berupa suatu implikasi p → q.

Selidiki masing – masing pernyataan yang diberikan pada soal.

  • (1) p → q ≢ q → p, karena merupakan suatu implikasi dan bentuk konvers nya, nilai kebenarannya tidak sama
  • (2) p → q ≢ ~p → ~q, karena merupakan suatu implikasi dan bentuk inversnya, nilai kebenarannya tidak sama
  • (3) p → q ≡ ~q → ~p, karena merupakan suatu implikasi dan bentuk kontraposisinya
  • (4) p → q ≡ ~[~(p → q)] ≡ ~(p ∧ ~q) ≡ ~p ∨ ~(~q) ≡ ~p ∨ q

Jadi, pernyataan yang benar terdapat pada nomor (3) dan (4).

Jawaban: D

Demikianlah ulasan materi bentuk ekuivalen pernyataan majemuk, dilengkapi dengan cara membuktikan kebenarannya. Terimakasih sudah mengunjungi idschool(dot)net, semoga bermanfaat.

Baca Juga: Tautologi, Kontradiksi, dan Kontingensi

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.