Determinan Matriks 3×3 dan Contohnya

Determinan matriks 3×3 dapat dicari melalui dua cara yaitu metode kofaktor dan Aturan Sarrus. Nilai determinan matriks 3×3 berguna untuk mendapatkan solusi dari sistem persamaan linear tiga variabel. Fungsi determinan ini juga berlaku untuk sistem persamaan linear dengan jumlah variabel lainnya (tidak hanya tiga).

Paad matriks 2×2, nilai determinan sama dengan selisih perkalian bilangan antara diagonal utama dengan diagonal sekunder. Diagonal utama adalah bilangan-bilangan pada garis diagonal yang ditarik dari sisi kiri atas ke kanan bawah. Diagonal sekunder adalah bilangan-bilangan pada garis diagonal yang ditarik dari sisi kanan atas ke kiri bawah.

Determinan Matriks

Namun cara mendapatkan determinan matriks 3×3 tidak bisa menggunakan cara seperti itu. Bagaimana cara mendapatkan determinan matriks 3×3 ada di bawah.

Daftar isi:

Baca Juga: Perkalian Matriks 2×2, 3×3, dan mxn dengan nxm

Metode Kofaktor

Ada sebuah teorema untuk menentukan nilai determinan matriks persegi berordo n. Bunyi teoremanya seperti yang diberikan pada pernyataan di bawah.

Teorema: Determinan matriks A yang berukuran n x n dapat dihitung dengan mengalikan entri-entri dalam suatu baris (atau kolom) dengan kofaktor-kofaktornya dan menambahkan hasil-hasil kali yang dihasilkan yakni untuk setiap 1 ≤ i ≤ n dan 1 ≤ j ≤ n,

maka
det(A) = a1jC1j + a2jC2j + … + anjCnj
(ekspansi kofaktor sepanjang kolom ke-j)

Atau
det(A) = ai1Ci1 + ai2Ci2 + … + ainCin
(ekspansi kofaktor sepanjang baris ke-i)

Dari teorema di atas disinggung kofaktor. Apa itu? Definisi kofaktor ada pada pernyataan di bawah.

Definisi: 
Jika A adalah matriks kuadrat, maka minor entri aij dinyatakan oleh Mij dan didefinisikan menjadi determinan submatriks yang tetap setelah baris ke-i dan kolom ke-j dicoret dari A. Kofaktor entri aij dinyatakan dalam persamaan Cij = (–1)i+jMij

Teorema dan definisi di atas sekilas sulit untuk dipahami. Namun sebenarnya mudah kok. Simak penjelasan lebih lanjutnya di bawah.

Rumusnya

Minor entri aij dan kofaktor entri aij pada matriks A diperoleh dengan cara berikut.

Coret baris dan kolom pada urutan pertama untuk mendapatkan minor entri a11 dan kofaktor entri a11. Tersisa submatriks yang memilki ukuran 2×2. Minor entri a11 adalah M11 = ei – fh dan kofaktor entri C11 adalah C11 = (–1)2M11 = ei – fh.

Minor dan Kofaktor Entri a11

Untuk mendapat minor entri a12 dan kofaktor entri a12, coret baris pertama dan kolom kedua. Akan ada submatriks yang memilki ukuran 2×2, sama seperti sebelumnya. Minor entri a12 adalah M12 = di – fg dan kofaktor entri C12 adalah C11 = (–1)3M12 = fg – di.

Minor dan Kofaktor Entri a12

Dengan cara yang sama seperti sebelumnya dapat diperoleh minor entri a13 dan kofaktor entri a13. Minor entri a13 adalah M13 = dh – eg dan kofaktor entri C13 adalah C13 = (–1)4M13 = dh – eg.

Minor dan Kofaktor Entri a13

Selanjutnya, determinan matriks A dapat dicari menggunakan rumus det(A) = a11C11 + a12C12 + a13C13.

Contohnya

Cara menghitung nilai determinan matriks 3×3 ada pada contoh di bawah.

Cara Menentukan Determinan Matriks 3x3 dengan Minor-Kofaktor

Baca Juga: Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear dengan Matriks

Aturan Sarrus untuk Mencari Determinan Matriks 3×3

Cara yang paling mudah (sejauh ini) untuk menentukan determinan matriks 3×3 adalah menggunakan Aturan Sarrus. Aturan ini merupakan kasus khusus dari metode kofaktor yang terdapat pada matriks berukuran 3 x 3.

Terdapat sebuah matriks A yaitu matriks persegi yang memiliki ukuran 3×3. Ada tiga bilangan disetiap elemen baris dan ada tiga bilangan di setiap elemen kolom.

Matriks A

Rumus determinan matriks A pada Aturan Sarrus dalah det(A) aei + bfg + cdh – ceg – afh – bdi.

Rumus Determinan Matriks 3x3

Cara menggunakan Aturan Sarrus untuk mencari determinan matriks 3×3 ada pada penyelesaian contoh soal di bawah.

Contoh Soal Cara Menentukan Determinan Matriks 3 x 3

Penyelesaian:

det(A) = 4×4×4 + 3×2×3 + 5×1×2 – 5×4×3 – 4×2×2 – 3×1×4

= 64 + 18 + 10 – 60 – 16 – 12

= 4

Diperoleh determinan matriks 3×3 tersebut adalah det(A) = 4. Nilainya sama dengan cara sebelumnya, bukan?

Demikianlah tadi ulasan determinan matriks 3×3 dengan Aturan Sarrys dan metode kofaktor. Terima kasih sudah mengunjungi idschool(dot)net, semoga bermanfaat!

Baca Juga: Jenis-Jenis Matriks

Leave a Comment

Your email address will not be published. Required fields are marked *