Cara Menentukan Determinan Matriks 3×3

By | June 11, 2021

Matriks adalah kumpulan beberapa bilangan yang disusun dalam baris dan kolom di dalam tanda kurung ( ) atau kurung siku [ ]. Ukuran matriks (ordo) dinyatakan dalam baris × kolom, sehingga matriks dengan ukuran 3×1 memiliki bentuk yang berbeda dengan matriks ukuran 1×3. Matriks yang memiliki jumlah baris sama dengan jumlah kolom disebut dengan matriks persegi. Misalnya pada matriks dengan jumlah baris dan kolom sama dengan dua merupakan matriks persegi ordo 2. Matriks persegi dengan jumlah baris dan kolom sama dengan 3 disebut matriks berordo 3, begitu seterusnya. Selislih antara perkalian elemen-elemen pada diagonal utama dengan diagonal sekunder pada matriks persegi disebut determinan matriks. Simbol determinan matriks adalah tanda | nama matriks | atau det(nama matriks), misalnya determinan matriks A dituliskan dalam simbol |A| atau det(A). Perhitungan nilai determinan matriks dengan orde besar lebih rumit dari matriks dengan orde kecil, begitupula cara menentukan determinan matriks 3×3 lebih rumit dari pada determinan matriks 2×2.

Cara Menentukan determinan pada matriks persegi dengan ukuran 2 x 2 cukup mudah dilakukan yaitu dengan menghitung selisih perkalian bilangan antara diagonal utama dengan diagonal sekunder. Diagonal utama adalah bilangan-bilangan pada garis diagonal yang ditarik dari sisi kiri atas ke kanan bawah matriks. Sedangkan diagonal sekunder adalah bilangan-bilangan pada garis diagonal yang ditarik dari sisi kanan atas ke kiri bawah matriks. Matriks persegi dengan ordo 2 terdiri dari satu diagonal utama dan satu diagonal sekunder. Sehingga perhitungan determinan matriks persegi ordo 2 cukup mudah untuk dilakukan. Pada matriks dengan ukuran 3 x 3 atau lebih perlu perhitungan yang tidak sesederhana perhitungan determinan matriks persegi ordo 2.

Determinan Matriks dengan Ukuran 2 x 2 dan 3 x 3

Bagaimana cara menentukan determinan matriks 3 x 3? Bagaimana cara menentukan determinan matriks 4 x 4 atau lebih? Sobat idschool dapat mencari tahu jawabannya melalui ulasan di bawah.

Baca Juga: Perkalian Matriks 2×2, 3×3, dan mxn dengan nxm

Determinan Matriks 3×3 dengan Metode Kofaktor

Ada cara lain yang dapat digunakan untuk menentukan nilai determinan dari suatu matriks persegi dengan ordo 3 x 3 yaitu metode minor-kofaktor. Rumus umum yang berlaku pada metode kofaktor terdapat dalam sebuah teorema yang telah terbukti kebenarannya.

Bunyi dari teorema untuk nilai determinan matriks persegi berordo n terdapat seperti pernyataan berikut.

Teorema: Determinan matriks A yang berukuran n x n dapat dihitung dengan mengalikan entri-entri dalam suatu baris (atau kolom) dengan kofaktor-kofaktornya dan menambahkan hasil-hasil kali yang dihasilkan yakni untuk setiap 1 ≤ i ≤ n dan 1 ≤ j ≤ n, maka

  • det(A) = a1jC1j + a2jC2j + … + anjCnj
    (ekspansi kofaktor sepanjang kolom ke-j)

Atau

  • det(A) = ai1Ci1 + ai2Ci2 + … + ainCin
    (ekspansi kofaktor sepanjang baris ke-i)

Dari teorema di atas disinggung kofaktor yang definisinya diberikan seperti berikut.

Definisi: Jika A adalah matriks kuadrat, maka minor entri aij dinyatakan oleh Mij dan didefinisikan menjadi determinan submatriks yang tetap setelah baris ke-i dan kolom ke-j dicoret dari A. Kofaktor entri aij dinyatakan dalam persamaan Cij = (–1)i+jMij

Untuk mempermudan pemahaman sobat idschool, perhatikan bagaiaman menentukan minor entri aij dan kofaktor entri aij pada matriks A berikut.

Minor dan Kofaktor Entri a11
Minor dan Kofaktor Entri a12
Minor dan Kofaktor Entri a13

Selanjutnya, nilai determinan matriks A dapat ditentukan melalui persamaan: det(A) = a11C11 + a12C12 + a13C13. Perhatikan cara menentukan determinan matriks 3 x 3 berikut.

Cara Menentukan Determinan Matriks 3x3 dengan Minor-Kofaktor

Baca Juga: Penggunaan Matriks untuk Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear

Aturan Sarrus untuk Menentukan det(A)

Aturan Sarrus merupakan kasus khusus dari metode kofaktor yang terdapat pada matriks berukuran 3 x 3. Perhatikan kembali komponen susunan bilangan pada matriks A.

Matriks A

Minor entri a11, a12, dan a13 yaitu M11, M12, dan M13 memenuhi persamaan-persamaan berikut.

Sehingga kofaktor untuk a11, a12, dan a13 diberikan seperti persamaan C11, C12, dan C13 berikut.

  • C11 = (–1)1+1 ⋅ M11 = ei – fh
  • C12 = (–1)1+2 ⋅ M12 = fg – di
  • C13 = (–1)1+3 ⋅ M13 = dh – eg

Sehingga diperoleh determinan matriks A seperti yang ditunjukkan pada langkah berikut.

det(A) = a11C11 + a12C12 + a13C13
det(A) = a(ei – fh) + b(fg – di) + c(dh – ge)
= aei – afh + bfg – bdi + cdh – ceg
= aei + bfg + cdh – ceg – afh – bdi

Untuk memudah mengingat persamaan umum pada Aturan Sarrus perhatikan cara berikut.

Rumus Determinan Matriks 3x3

Penggunaan Aturan Sarrus untuk menentukan nilai determinan matriks persegi dengan ordo 3 dapat dilihat seperti langkah-langkah berikut.

Contoh Soal Cara Menentukan Determinan Matriks 3 x 3

Penyelesaian:

|A| = det(A)
= 4×4×4 + 3×2×3 + 5×1×2 – 5×4×3 – 4×2×2 – 3×1×4
= 64+18+10–60–16–12
|A| = 64+18+10–60–16–12 = 4

Diperoleh determinan dari matriks A adalah det(A) = 4, diperoleh hasil yang sama dengan cara sebelumnya, bukan? Aturan Sarrus merupakan metode yang paling tepat digunakan untuk menentukan nilai determinan matriks persegi berordo 3. Untuk menghitung nilai determinan matriks dengan ordo lebih tinggi sepert 4×4, 5×5, atau yang lebih tinggi dapat menggunakan metode kofaktor atau kombinasi Aturan Sarrus dan metode kofaktor.

Demikianlah tadi ulasan cara menentukan determinan matriks 3×3 dengan metode kofaktor dan Aturan Sarrus. Terimakasih sudah mengunjungi idschool(dot)net, semoga bermanfaat!

Baca Juga: Jenis-Jenis Matriks

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.