Selislih antara perkalian elemen-elemen pada diagonal utama dengan diagonal sekunder pada matriks persegi disebut determinan matriks. Simbol determinan matriks adalah tanda | nama matriks | atau det(nama matriks), misalnya determinan matriks A dituliskan dalam simbol |A| atau det(A). Determinan matriks hanya terdapat pada matriks persegi, misalnya determinan matriks 3×3.
Matriks adalah kumpulan beberapa bilangan yang disusun dalam baris dan kolom di dalam tanda kurung ( ) atau kurung siku [ ]. Ukuran matriks (ordo) dinyatakan dalam baris × kolom, sehingga matriks dengan ukuran 3×1 memiliki bentuk yang berbeda dengan matriks ukuran 1×3.
Matriks persegi adalah matriks yang memiliki jumlah baris sama dengan jumlah kolom disebut dengan. Pada matriks dengan jumlah baris dan kolom sama dengan dua merupakan matriks persegi ordo 2. Sedangkan matriks persegi dengan jumlah baris dan kolom sama dengan 3 disebut matriks berordo 3, begitu seterusnya. Sehingga determinan matriks 3×3 adalah nilai determinan dari matriks persegi yang memiliki jumlah elemen baris = kolom = 3.
Cara Menentukan determinan pada matriks persegi dengan ukuran 2 x 2 cukup mudah dilakukan yaitu dengan menghitung selisih perkalian bilangan antara diagonal utama dengan diagonal sekunder. Diagonal utama adalah bilangan-bilangan pada garis diagonal yang ditarik dari sisi kiri atas ke kanan bawah matriks. Sedangkan diagonal sekunder adalah bilangan-bilangan pada garis diagonal yang ditarik dari sisi kanan atas ke kiri bawah matriks.
Sedangkan pada cara menentukan determinan matriks 3×3 memerlukan perhitungan yang lebih rumit dan ditidak semuah perhitungan determinan matriks 2×2. Cara yang dapat digunakan untuk menentukan determinan matriks 3×3 adalah metode kofaktor dan aturan Sarrus.
Bagaimana cara menentukan determinan matriks 3×3 dengan metode kofaktor? Bagaimana cara menentukan determinan matriks 3×3 dengan aturan Sarrus? Sobat idschool dapat mencari tahu jawabannya melalui ulasan di bawah.
Baca Juga: Perkalian Matriks 2×2, 3×3, dan mxn dengan nxm
Determinan Matriks 3×3 dengan Metode Kofaktor
Ada cara lain yang dapat digunakan untuk menentukan nilai determinan dari suatu matriks persegi dengan ordo 3 x 3 yaitu metode minor-kofaktor. Rumus umum yang berlaku pada metode kofaktor terdapat dalam sebuah teorema yang telah terbukti kebenarannya.
Bunyi dari teorema untuk nilai determinan matriks persegi berordo n terdapat seperti pernyataan berikut.
Teorema:
Determinan matriks A yang berukuran n x n dapat dihitung dengan mengalikan entri-entri dalam suatu baris (atau kolom) dengan kofaktor-kofaktornya dan menambahkan hasil-hasil kali yang dihasilkan yakni untuk setiap 1 ≤ i ≤ n dan 1 ≤ j ≤ n, maka
- det(A) = a1jC1j + a2jC2j + … + anjCnj
(ekspansi kofaktor sepanjang kolom ke-j)
Atau
- det(A) = ai1Ci1 + ai2Ci2 + … + ainCin
(ekspansi kofaktor sepanjang baris ke-i)
Dari teorema di atas disinggung kofaktor yang definisinya diberikan seperti berikut.
Definisi: Jika A adalah matriks kuadrat, maka minor entri aij dinyatakan oleh Mij dan didefinisikan menjadi determinan submatriks yang tetap setelah baris ke-i dan kolom ke-j dicoret dari A. Kofaktor entri aij dinyatakan dalam persamaan Cij = (–1)i+jMij
Untuk mempermudan pemahaman sobat idschool, perhatikan bagaiaman menentukan minor entri aij dan kofaktor entri aij pada matriks A berikut.
Selanjutnya, nilai determinan matriks A dapat ditentukan melalui persamaan: det(A) = a11C11 + a12C12 + a13C13. Perhatikan cara menentukan determinan matriks 3×3 berikut.
Baca Juga: Penggunaan Matriks untuk Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear
Aturan Sarrus untuk Menentukan det(A)
Aturan Sarrus merupakan kasus khusus dari metode kofaktor yang terdapat pada matriks berukuran 3 x 3. Perhatikan kembali komponen susunan bilangan pada matriks A.
Minor entri a11, a12, dan a13 yaitu M11, M12, dan M13 memenuhi persamaan-persamaan berikut.
Sehingga kofaktor untuk a11, a12, dan a13 diberikan seperti persamaan C11, C12, dan C13 berikut.
- C11 = (–1)1+1 ⋅ M11 = ei – fh
- C12 = (–1)1+2 ⋅ M12 = fg – di
- C13 = (–1)1+3 ⋅ M13 = dh – eg
Sehingga diperoleh determinan matriks A seperti yang ditunjukkan pada langkah berikut.
det(A) = a11C11 + a12C12 + a13C13
det(A) = a(ei – fh) + b(fg – di) + c(dh – ge)
= aei – afh + bfg – bdi + cdh – ceg
= aei + bfg + cdh – ceg – afh – bdi
Untuk memudah mengingat persamaan umum pada Aturan Sarrus perhatikan cara berikut.
Penggunaan Aturan Sarrus untuk menentukan nilai determinan matriks persegi dengan ordo 3 dapat dilihat seperti langkah-langkah berikut.
Penyelesaian:
det(A) = |A|
|A| = 4×4×4 + 3×2×3 + 5×1×2 – 5×4×3 – 4×2×2 – 3×1×4
|A| = 64+18+10–60–16–12 = 4
Diperoleh determinan matriks 3×3 tersebut adalah det(A) = 4,
Di mana nilainya sama dengan cara sebelumnya, bukan?
Aturan Sarrus merupakan metode yang paling tepat digunakan untuk menentukan nilai determinan matriks persegi berordo 3. Untuk menghitung nilai determinan matriks dengan ordo lebih tinggi sepert 4×4, 5×5, atau yang lebih tinggi dapat menggunakan metode kofaktor atau kombinasi Aturan Sarrus dan metode kofaktor.
Demikianlah tadi ulasan cara menentukan determinan matriks 3×3 dengan metode kofaktor dan Aturan Sarrus. Terimakasih sudah mengunjungi idschool(dot)net, semoga bermanfaat!
Baca Juga: Jenis-Jenis Matriks
