Cara Menentukan Persamaan Kuadrat Baru

Persamaan kuadrat merupakan sebuah persamaan yang memiliki variabel dengan pangkat tertingginya adalah 2 (dua), secara umum dinyatakan dalam persamaan ax² + bx + c = 0. Bahasan persamaan kuadrat juga sering memuat bagaimana cara menentukan persamaan kuadrat baru dengan akar-akar yang berbeda dari suatu persamaan kuadrat. Caranya dapat memanfatkan rumus jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat

Bentuk grafik persamaan kuadrat berupa kurva lengkung yang memiliki satu titik puncak. Titik puncak maksimum terdapat pada kurva yang terbuka ke bawah. Sedangkan titik puncak minimum terdapat pada kurva yang terbuka ke atas.

Baca Juga: Pemfaktoran Bentuk Aljabar

Bagaimana cara rumus jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat? Bagaimana cara menentukan persamaan kuadrat baru dengan rumus jumlah dan hasil kali akar-akar tersebut? Sobat idschool dapat mencari tahu jawabannya melalui ulasan di bawah.

Table of Contents

• Rumus untuk Menentukan Persamaan Kuadrat Baru
• Contoh Soal dan Pembahasan
  • Contoh 1 – Soal Menentukan Persamaan Kuadrat Baru
  • Contoh 2 – Menentukan Persamaan Kuadrat Baru
  • Contoh 3 – Menentukan Persamaan Kuadrat Baru

Rumus untuk Menentukan Persamaan Kuadrat Baru

Pembahasan di sini adalah seputar rumus hasil jumlah dan perkalian akar-akar persamaan kuadrat dengan memanfaatkan koefisen dari persamaan kuadrat. Rumus ini diperoleh dengan memanfaatkan rumus abc, sebagai salah satu cara untuk menentukan akar-akar persamaan kuadrat. Hasil akhirnya akan diperoleh rumus umum untuk mengetahui jumlah dan perkalian dari akar-akar persamaan kuadrat.

Bentuk rumus abc secara umum dinyatakan seperti rumus berikut.

Rumus jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat dapat dinyatakan seperti pada persamaan berikut.

Baca Juga: Darimana rumus jumlah dan hasil kali akar persamaan kuadrat diperoleh?

Sebuah persamaan kuadrat memiliki persamaan ax² + bx + c = 0 dengan akar-akar α dan β. Misalkan, diketahui persamaan kuadrat baru memiliki akar-akar x₁ dan x₂. Jika diketahui hubungan persamaan akar-akar persamaan kuadrat persamaan x₁ dan x₂ dengan α dan β maka persamaan kuadrat baru dapat ditentukan.

Langkah – langkah menentukan persamaan kuadrat baru:

1. Menentukan jumlah dan perkalian akar-akar dari persamaan kuadrat awal
2. Menentukan jumlah dan perkalian akar-akar persamaan kuadrat baru yang diketahui
3. Membentuk persamaan kuadrat baru sesuai dengan rumus yang telah diberikan di atas: x² – (x₁ + x₂)x + x₁ ⋅ x₂ = 0

Berikutnya akan diberikan contoh soal cara menentukan persamaan kuadrat baru berserta dengan pembahasannya.

Contoh Soal dan Pembahasan

Berikutnya akan diberikan contoh soal dan pembahasan bagaimana cara menentukan persamaan kuadrat baru untuk menambah pemahaman sobat idschool. Simak contoh soal beserta pembahasannya pada soal-soal di bawah.

Contoh 1 – Soal Menentukan Persamaan Kuadrat Baru

Diketahui akar-akar persamaan kuadrat x² + 2x + 3 = 0 adalah α dan β. Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya adalah (α – 2) dan (β – 2) adalah ….
A. x² + 6x + 5 = 0
B. x² + 6x + 7 = 0
C. x² + 6x + 11 = 0
D. x² – 2x + 3 = 0
E. x² + 2x + 11 = 0

Pembahasan:
Berdasarkan persamaan kuadrat x² + 2x + 3 = 0, dapat diketahui bahwa nilai a = 1, b = 2, dan c = 3. Dari ketiga nilai tersebut dapat diperoleh jumlah akar-akar dan hasil kali akar-akar dari persamaan kuadrat seperti berikut.

Jumlah akar-akar persamaan kuadrat:
α + β = ‒^b/_a
α + β = ‒²/₁ = ‒2

Perkalian akar-akar persamaan kuadrat:
α × β = ^c/_a
α × β = ³/₁ = 3

Untuk persamaan kuadrat baru, maka jumlah akar-akar dan hasil kali akar-akar dapat ditentukan seperti pada dua cara berikut.

• Jumlah akar-akar persamaan kuadrat:
  (α – 2) + (β – 2) = α + β – 4
  = –2 – 4
  = –6

• Hasil kali perkalian akar-akar persamaan kuadrat:
  (α – 2)(β – 2) = αβ – 2α – 2β + 4
  = αβ – 2(α +β) + 4
  = 3 – 2(–2) + 4
  = 3 + 4 + 4
  = 11

Jadi, persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya adalah (α – 2) dan (β – 2) dapat ditentukan seperti cara berikut.
x² – ( x₁ + x₂ )x + ( x₁ ⋅ x₂) = 0
x² – ( – 6)x + 11 = 0
x² + 6x + 11 = 0

Selain cara runut yang telah diberikan seperti di atas, terdapat cara cepat menentukan persamaan kuadrat untuk bentuk soal seperti di atas.

RUMUS CEPAT:
Perhatikan bahwa akar-akar persamaan kuadrat baru memiliki pengurangan nilai yang sama, yaitu –2. Untuk menentukan persamaan kuadrat baru dalam kasus soal seperti ini dapat dilakukan dengan substitusi invers nilai persamaan kuadrat baru ke persamaan kuadrat awal.

Perhatikan cara-caranya seperti berikut ini.
Invers dari (x – 2) adalah ( x + 2), substitusi nilai inversnya ke persamaan kuadrat awal seperti cara berikut ini.
(x + 2)² + 2(x + 2) + 3 = 0
x² + 4x + 4 + 2x + 4 + 3 = 0
x² + 6x + 11 = 0
Hasil yang diperoleh sama dengan cara sebelumnya, bukan?

Jawaban: C

Contoh 2 – Menentukan Persamaan Kuadrat Baru

Persamaan kuadrat x² – 5x + 2 = 0 mempunyai akar – akar α dan β. Persamaan kuadrat yang akar-akarnya α² dan β² adalah ….
A. x² – 21x + 4 = 0
B. x² + 21x + 4 = 0
C. x² + 21x – 4 = 0
D. x² – 21x – 4 = 0
E. – x² – 21x + 4 = 0

Baca Juga: Rumus ABC untuk menyelesaikan Persamaan Kuadrat

Pembahasan:
Berdasarkan persamaan kuadrat x² – 5x + 2 = 0 dapat diperoleh:
α + β = 5
α × β = 2

Sehingga, jumlahan akar – akar baru dapat dihitung seperti cara berikut.
α² + β² = (α + β)² – α×β
= 5² – 2(2)
= 25 – 4
= 21

Hasil kali akar – akar baru dapat dihitung seperti cara berikut.
α² ⋅ β²= (αβ)²
= 2²
= 4

Sehingga, persamaan kuadrat barunya adalah x² – 21x + 4 = 0.

Jawaban: A

Baca Juga: Cara Menentukan Persamaan Grafik Fungsi Kuadrat Jika Diketahui Sebuah Kurva Fungsi Kuadrat

Contoh 3 – Menentukan Persamaan Kuadrat Baru

Jika α dan β merupakan akar – akar dari persamaan kuadrat x² – x + 3 = 0, persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya α² – α dan β² – β adalah ….
A. x² – 6x + 9 = 0
B. x² + 6x + 9 = 0
C. x² + 6x – 9 = 0
D. x² – 6x – 9 = 0
E. -x² + 6x + 9 = 0

Pembahasan:
Dari persamaan kuadrat: x² – x + 3 = 0
α + β = 1
αβ = 3

Jumlah akar – akar baru:
α² – α + β² – β = α² + β² – α – β
= (α + β)² – 2αβ  – (α + β)
= 1² – 2 ⋅ 3 – 1
= 1 – 6 – 1
= –6

Perkalian akar-akar baru:
(α² – α)(β² – β) = (αβ)^{2} – αβ(α + β) + αβ
= 3² – 3(1) + 3
= 9

Jadi, persamaan kuadrat barunya adalah x² + 6x + 9 = 0.

Jawaban: B

Demikianlah tadi ulasan cara menentukan persamaan kuadrat baru serta contoh soal dengan pembahasannya. Terimakasih sudah mengunjungi idschool(dot)net, semoga bermanfaat.

Baca Juga: Aplikasi Integral (Mencari Luas yang dibatasi Kurva)