Fungsi Invers dan Sifat Fungsi Invers pada Komposisi Fungsi

Fungsi invers adalah pemetaan yang memiliki arah berlawnan dengan fungsinya. Misalkan suatu fungsi mematakan dari himpunan A ke B. Maka, yang dimaksud fungsi invers adalah fungsi yang memetakan dari B ke A. Pada halaman ini, sobat idschool akan mempelajari fungsi invers dan sifat fungsi invers pada komposisi fungsi.

Suatu fungsi dengan sifat tertentu memiliki invers, fungsi tersebut adalah fungsi yang memiliki sifat bijektif atau korespondensi satu-satu. Begitu juga dengan komposisi fungsi. Komposisi dari dua buah fungsi yang memiliki invers juga akan memiliki invers. Perhatikan pengertian invers yang dijelaskan melalui gambar di bawah untuk membantu pemahaman sobat idschool mengenai fungsi invers pada suatu fungsi dan komposisi fungsi.

Misalkan suatu fungsi f(x) memiliki invers f^‒1(x) dan g(x) memiliki invers g^‒1(x). Komposisi f(x) dan g(x) juga akan memiliki invers. Komposisi invers ini memiliki sifat fungsi invers yang akan dijelaskan kemudian. Pada gambar sebelah kiri ditunjukkan sebuah fungsi f(x) yang memiliki fungsi invers f^‒1(x). Gambar di sebelah kanan adalah komposisi dua buah fungsi dan inversnya.

Bagaimana cara menentukan invers fungsi? Bagaimana cara menentukan komposisi fungsi? Apa saja sifat fungsi invers? Sobat idschool dapat mencari tahu jawabannya melalui ulasan invers fungsi dan sifat invers fungsi pada komposisi fungsi berikut.

Fungsi Invers
Sifat Invers pada Komposisi Fungsi
Contoh Soal dan Pembahasan
- Contoh 1 – Soal Fungsi Invers Komposisi Fungsi
- Contoh 2 – Soal Fungsi Invers Komposisi Fungsi

Fungsi Invers

Sebelum membahas mengenai sifat invers pasa komposisi fungsi. Kita akan mempelajari terlabih dahulu proses mencari invers dari suatu fungsi. Penjelasan akan disajikan dalam bentuk soal dan pembahasan, jadi simak soal dan pembahasan tentang invers fungsi di bawah dengan baik.

Tentukan invers dari fungsi f(x) di bawah!

Pembahasan: misalkan f(x) = y, maka penyelesaian untuk mendapatkan invers dari fungsi f(x) dapat diperoleh seperti cara berikut.

Persamaan x atas variabel y sesuai dengan persamaan berikut..

Berdasarkan persamaan akhir di atas dapat disimpulkan bahwa fungsi invers dari f(x) adalah f^‒1(x) = ^{3 + 2x}/_{4 ‒ x}.

Bagaimana, mudah bukan?

Cara menentukan invers suatu fungsi, seperti cara di atas, memang cukup panjang. Sebenarnya, ada rumus praktis untuk menentukan suatu fungsi invers. Meskipun demikian, sebaiknya sobat idschool sudah menguasai konsep pencarian invers suatu fungsi di atas terlebih dahulu. Hal ini akan bermanfaat untuk sobat idschool nantinya, juga akan bermanfaat ketika sobat idschool lupa rumus cepatnya.

Cara cepat mencari sebuah fungsi invers untuk bentuk tertentu dapat diperoleh dengan cara berikut.

Kita akan menggunakan cara cepat mencari invers fungsi untuk menyelesaikan persoalan yang sama pada soal dan pembahasan invers fungsi di atas.

Mencari fungsi invers f(x) dengan cara cepat:
f(x) = ^{4x ‒ 3}/_{x + 2}f^‒1(x) = ^{‒2x ‒ 3}/_{x ‒ 2}f^‒1(x) = ^{‒(2x + 3)}/_{‒(4 ‒ x)}
f^‒1(x) = ^{2x + 3}/_{4 ‒ x}f^‒1(x) = ^{3 + 2x}/_{4 ‒ x}

Sifat Invers pada Komposisi Fungsi

Pembahasan sifat invers pada komposisi fungsi mempelajari hubungan kesamaan suatu fungsi invers dengan kesamaan lainnya. Sifat invers pada komposisi fungsi dapat membuat sobat idschool lebih tepat dalam menentukan langkah yang tepat untuk menyelesaikan variasi soal yang diberikan terkait komposisi fungsi.

Sifat fungsi invers pada komposisi fungsi dapat dilihat pada gambar di bawah.

Contoh Soal dan Pembahasan

Beberapa contoh soal di bawah dapat sibat idschool untuk menambah pemahaman bahasan sifat fungsi invers pada komposisi fungsi. Setiap contoh soal yang diberikan dilengkapi dengan pembahasan sifat fungsi invers pada komposisi fungsi. Sobat idschool dapat menggunakan pembahasan sifat fungsi invers tersebut sebagai tolak ukur keberhasilan mengerjakan soal. Selamat Berlatih!

Contoh 1 – Soal Fungsi Invers Komposisi Fungsi

Jika f(x) = x + 2 dan g(x) = ^{3 ‒ x}/_{2x + 1} maka (f ∘ g)^‒1(x) adalah ….
A. ^{x ‒ 6}/_{5 ‒ 2x}
B. ^{x ‒ 6}/_{2x ‒ 5}
C. ^{x + 6}/_{2x ‒ 5}
D. ^{x ‒ 6}/_{2x + 5}
E. ^{2x ‒ 5}/_{x + 6}

Pembahasan:

Mencari komposisi fungsi (f ∘ g)(x):

Mencari invers fungsi komposisi (f ∘ g)^‒1(x) dengan cara cepat dapat dilakukan seperti pada cara berikut.

Jadi, (f ∘ g)^‒1(x) = ^{x ‒ 6}/_{5 ‒ 2x}

Jawaban: A

Contoh 2 – Soal Fungsi Invers Komposisi Fungsi

Pembahasan:

Mencari komposisi fungsi (f o g)(x):

Mencari fungsi invers (f o g)(x):
y = ^9x+10/_{x + 4}
y(x + 4) = 9x + 10
xy + 4y = 9x + 10
xy ‒ 9x = ‒4y + 10
x(y ‒ 9) = ‒4y + 10
x = ^{‒4y + 10}/_{y ‒ 9}x = ^{‒(4y ‒ 10)}/_{‒(‒y + 9)}x = ^{4y ‒ 10}/_{‒ y + 9}