Besar Sudut Antara 2 Tali Busur Lingkaran yang Berpotongan

Tali busur adalah sebuah ruas garis dari dua titik yang terletak pada tepi lingkaran. Perpotongan dua tali busur menghasilkan sudut antara dua tali busur. Ada dua jenis sudut hasil perpotongan dua tali busur yaitu sudut antara dua tali busur yang berpotongan di dalam dan luar lingkaran. Besar sudut antara dua tali busur dapat diketahui melalui sebuah rumus yang diperoleh dari karakterisir besar sudut pusat dan keliling pada lingkaran.

Sebelumnya ingat kembali unsur-unsur lingkaran yang meliputi busur, tali busur, apotema, temberang, juring, jari-jari, diameter, dan pusat lingkaran. Selain itu, ingat kembali juga mana yang disebut sebagai sudut keliling dan mana sudut pusat pada suatu lingkaran. Unsur-unsur yang terdapat pada lingkaran dapat dilihat seperti gambar di bawah.

Baca Juga: Garis Singgung Lingkaran (Persekutuan Dalam dan Luar)

Bagaimana besar sudut dari perpotongan dua tali busur? Sobat idschool dapat mencari tahu jawabannya melalui ulasan di bawah.

Table of Contents

• Sudut Antara Dua Tali Busur yang Berpotongan di Dalam Lingkaran
• Pembuktian Rumus Sudut Antara Dua Tali Busur yang Berpotongan di Dalam Lingkaran
• Sudut Antara Dua Tali Busur yang Berpotongan di Dalam Lingkaran
• Pembuktian Rumus Sudut Antara Dua Tali Busur yang Berpotongan di Luar Lingkaran
• Contoh Soal dan Pembahasan
  • Contoh 1 – Soal Sudut Perpotongan 2 Tali Busur di Dalam Lingkaran
  • Contoh 2 – Soal Sudut Perpotongan 2 Tali Busur di Luar Lingkaran

Sudut Antara Dua Tali Busur yang Berpotongan di Dalam Lingkaran

Pada sebuah lingkaran dengan titik pusat O terdapat dua tali busur yaitu ruas garis AC dan BD. Dua tali busur tersebut berpotongan pada satu titik di dalam lingkaran, yaitu titik P. Ada empat sudut yang dibentuk dari perpotongan dua tali busur tersebut. Keempat sudut tersebut adalah sudut APD, ∠APB, ∠BPC, dan ∠CPD.

Empat sudut yang terbentuk merupakan dua pasang sudut yang saling bertolak belakang. Diketahui bahwa besar sepasang sudut yang saling bertolak belakang adalah sama. Sehingga pasangan besar sudut yang sama adalah m∠APB = m∠CPD dan m∠BPC = m∠APD. Besar dua pasang sudut tersebut memiliki hubungan dengan besar sudut pusat yang menghadap busur yang sesuai.

Rumus besar sudut antara dua tali busur yang berpotongan di dalam lingkaran adalah sebagai berikut.

Baca Juga: Cara Menghitung Luas Selimut Tabung

Pembuktian Rumus Sudut Antara Dua Tali Busur yang Berpotongan di Dalam Lingkaran

Pertama, buatlah garis bantu AD sehingga terbentuk segitiga APD.

Berdasarkan gambar di atas dapat diperoleh beberapa persamaan seperti di bawah.

• Persamaan 1: m∠CAD=¹/₂ m∠COD
  ∠CAD merupakan sudut keliling yang menghadap busur CD dan ∠DOC adalah sudut pusat yang menghadap busur sama (busur CD). Hubungan sudut keliling dan sudut pusat yang menghadap busur sama adalah sudut keliling = ¹/₂ sudut pusat.  

• Persamaan 2: m∠ADB=¹/₂m∠AOB
  Diketahui bahwa ∠ADB adalah sudut keliling yang menghadap busur yang sama dengan sudut pusat ∠AOB yaitu busur AB. Sehingga besar sudut keliling (∠ADB) sama dengan ¹/₂ sudut pusat (∠AOB).

Perhatikan ΔAPD, diketahui bahwa jumlah sudut dalam segitita = 180^o. Sehingga,
m∠PAD+m∠APD+m∠ADP=180^o
m∠CAP+m∠APD+m∠ADB=180^o

Substitusi nilai m∠CAD= ¹/₂ m∠COD dan m∠ADB=¹/₂m∠AOB pada persamaan di atas. ¹/₂m∠COD+m∠APD+¹/₂m∠AOB =180^o
m∠APD = 180^o‒¹/₂m∠COD‒¹/₂m∠AOB

Berikutnya perhatikan garis BD yang merupakan garis lurus sehingga besar sudutnya sama dengan 180^o.
m∠APD + m∠APB =180^o
∠APB =180^o ‒ ∠APD

Subtitusi hasil dari persamaan m∠APD=180^o ‒¹/₂m∠COD ‒ ¹/₂m∠AOB untuk mengganti nilai ∠APD.
m∠APB=180^o ‒(180^o‒¹/₂m∠COD‒¹/₂m∠AOB)
m∠APB= ¹/₂ m∠COD+¹/₂m∠AOB

Diperoleh hasil akhir besar sudut APB dan BPC sesuai dengan persamaan-persamaan berikut.

• m∠APB = ¹/₂ (m∠COD + m∠AOB)
• m∠BPC = m∠APB = ¹/₂ (m∠COD + m∠AOB)

Dengan cara yang sama seperti langkah-langkah di atas, dapat diperoleh persamaan rumus untuk dua besar sudut lainnya.

• m∠APD = ¹/₂(m∠AOD+m∠BOC)
• m∠APD = m∠BPC = ¹/₂(m∠AOD+m∠BOC)

Baca Juga: Luas Juring dan Panjang Busur Lingkaran

Sudut Antara Dua Tali Busur yang Berpotongan di Dalam Lingkaran

Diketahui sebuah lingkaran dengan titik pusat O memiliki dua tali busur yaitu ruas garis AD dan BC. Kedua tali busur tersebut berpotongan pada titik P yang terletak di luar lingkaran. Terdapat sebuah sudut yang dibentuk oleh dua titik busur tersebut yaitu ∠CPD.

Besar ∠CPD mempunyai hubungan besar dua sudut pusat yaitu ∠COD dan ∠AOB. Rumus besar sudut antara dua tali busur yang berpotongan di luar lingkaran adalah sebagai berikut.

Pembuktian Rumus Sudut Antara Dua Tali Busur yang Berpotongan di Luar Lingkaran

Rumus dalam persamaan untuk menentukan besar sudut antara dua tali busur yang berpotongan di luar lingkaran diperoleh melalui pembuktian di bawah.

Pertama, buatlah garis bantu BD sehingga terbentuk segitiga PDB.

Pembuktian Rumus Sudut Antara Dua Tali Busur yang Berpotongan di Luar Lingkaran

• Persamaan 1: m∠CBD = ¹/₂m∠COD
  ∠CBD adalah sudut keliling yang menghadap busur CD dan ∠COD adalah sudut pusat yang menghadap busur CD. Sehingga, terdapat hubungan besar sudut keliling (m∠CBD) = ¹/₂ besar sudut pusat (m∠COD).

• Persamaan 2: m∠BDP = m∠BDA = ¹/₂m∠AOB
  ∠BDA adalah sudut keliling yang menghadap busur AB dan ∠AOB merupakan sudut pusat yang menghadap busur AB. Sehingga, terdapat hubungan besar sudut keliling (m∠BDP) = ¹/₂ besar sudut pusat (m∠AOB).

Perhatikan segitiga PDB, di mana jumlah ketiga sudutnya sama dengan 180^o. Sehingga dapat diperoleh persamaan seperti berikut.

m∠BDP + m∠BPD + m∠DBP = 180^o
1/₂m∠AOB + m∠CPD + 180^o ‒ m∠CBD = 180^o
1/₂m∠AOB + m∠CPD + 180^o ‒ ¹/₂m∠COD = 180^o
m∠CPD = 180^o ‒ 180^o + ¹/₂m∠COD ‒ ¹/₂m∠AOB
m∠CPD = ¹/₂m∠COD ‒ ¹/₂m∠AOB

Dari persamaan terakhir dapat diperoleh rumus besar sudut antara dua tali busur yang berpotongan di luar lingkaran yaitu m∠CPD = ¹/₂(m∠COD ‒ m∠AOB).

Baca Juga: Cara Menghitung Luas Daerah yang Diarsir

Contoh Soal dan Pembahasan

Beberapa contoh soal di bawah dapat sobat idschool gunakan untuk menambah pemahaman bahasan di atas. Setiap contoh soal yang diberikan dilengkapi dengan pembahasannya. Sobat idschool dapat menggunakan pembahasan tersebut sebagai tolak ukur keberhasilan mengerjakan soal. Selamat Berlatih!

Contoh 1 – Soal Sudut Perpotongan 2 Tali Busur di Dalam Lingkaran

Pembahasan:
Titik T adalah titik hasil perpotongan dua tali busur di dalam lingkaran. Perhatikan segitiga TLN dengan tiga sudutnya berjumalah 180^o. Sehingga memenuhi persamaan berikut,

m∠TLN + m∠LNT + m∠NTL = 180^o
m∠KLN + m∠MNL + 180^o ‒ m∠KTN = 180^o
x^o + 40^o + 180^o ‒ 3x^o = 180^o
x^o ‒ 3x^o = 180^o ‒ 180^o ‒ 40^o
‒2x^o = ‒ 40^o
x^o = ^‒40/_‒2 = 20^o   

Jadi, besar ∠KTN = 3x^o = 3(20^o) = 60^o 

Jawaban: C

Contoh 2 – Soal Sudut Perpotongan 2 Tali Busur di Luar Lingkaran

Perhatikan gambar berikut ini!

Jika dikatahui besar ∠AOB = 80^o dan besar ∠CAD = 14^o maka besar ∠ADC = ….
A. 28^o
B. 26^o
C. 24^o
D. 18^o  

Pembahasan:
∠ADC adalah sudut yang dibentuk oleh perpotongan dua ruas garis di luar lingkaran. Besar ∠ADC dapat diperoleh melalui perhitungan seperti cara di bawah.

Jadi, besar ∠ADC = 24^o

Jawaban: C

Demikianlah tadi ulasan rumus besar sudut antara dua tali busur dan dilengkapi dengan pembuktian rumusnya. Disertai juga dengan contoh penggunaan rumus besar sudut antara dua tali busur untuk menyelesaikan soal. Terimakasih sudah mengunjungi idschool(dot)net, semoga bermanfaat!

Baca Juga: Luas Permukaan dan Volume Setengah Bola Padat