Kedudukan Titik Terhadap Hiperbola

By | March 31, 2018

Bentuk dari irisan kerucut dapat berupa hiperbola, bentuknya mirip dengan dua parabola yang dicerminkan. Salah satu pembahasan dalam materi hiperbola adalah kedudukan titik terhadap hiperbola. Kedudukan tersebut dapat meliputi titik di dalam hiperbola, titik pada hiperbola, dan titik di luar hiperbola. Melalui halaman ini akan diulas bagaiman cara menentuka kedudukan titik terhadap hiperbola dengan memanfaatkan persamaan umum hiperbola.

Sebuah titik yang terletak satu bidang dengan hiperbola akan mempunyai tiga kemungkinan kedudukan, yaitu titik di dalam parabola, titik pada parabola, atau titik di luar parabola. Ilustrasi tiga kemungkinan kedudukan titik terhadap hiperbola dapat dilihat seperti gambar di bawah.

titik terhadap hiperbola

Dengan melihat kedudukan titik pada hiperbola melalui gambar, akan secara mudah ditentukan kedudukan titik terhadap hiperbola. Namun, bagaimana jika yang diketahui hanya persamaan hiperbola dan letak koordinat sebuah titik? Bagaimanakah sobat idschool dapat mengetahui kedudukan titik pada parabola tersebut?

menentukan kedudukan titik terhadap hiperbola

Menentukan kedudukan titik terhadap hiperbola dengan cara menggambarkan hiperbola dari persamaan yang diketahui kemudian melihat letak titik yang diketahui koordinatnya, tentu bukan merupakan cara yang efektif.

Melalui halaman ini, sobat idschool akan belajar menentukan kedudukan titik terhadap hiperbola yang diketahui persamaannya dan sebuah titik yang diketahui letak koordinatnya. Pastinya, tanpa menggambarkannya terlebih dahulu pada bidang kartesius.

 

Titik di dalam Hiperbola

Pembahasan pertama adalah mengetahui letak titik terhadap hiperbola untuk titik di dalam hiperbola. Sebuah titik dikatakan terletak di dalam hiperbola jika titik koordinat tersebut berada di area dalam lengkungan hiperbola.

Kriteria titik di dalam hiperbola dapat ditentukan melalui persamaan yang diberikan di bawah.

kriteria kedudukan titik di dalam hiperbola

Contoh soal menentukan kedudukan titik terhadap hiperbola

Selidikilah kedudukan titik (3, 1) terhadap hiperbola yang memiliki persamaan berikut.

    \[ \frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{9} = 1 \]

Jawab:

Substitusi nilai x dan y, titik koordinat (3, 1), pada persamaan hiperbola.

    \[ \frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{9} = 1 \]

    \[ \frac{3^{2}}{4} - \frac{1^{2}}{9} (...) 1 \]

    \[ \frac{9}{4} - \frac{1}{9} (...) 1 \]

    \[ \frac{81}{36} - \frac{4}{36} (...) 1 \]

    \[ \frac{77}{36} (...) 1 \]

    \[ 2 \frac{5}{36} >1 \]

Berdasarkan perhitungan di atas, dapat disimpulkan bahwa titik (3, 1) berada di dalam hiperbola. Sesuai dengan kriteria kedudukan titik terhadap hiperbola untuk titik di dalam hiperbola. Untuk lebih meyakinkan sobat idschool, perhatikan letak titik terhadap hiperbola sesuai dengan soal yang berikan.

Titik di dalam hiperbola

Berikutnya adalah titik pada hiperbola. Simak ulasan materinya di bawah.

 

Titik pada Hiperbola

Ke dua adalah pembahasan mengenai letak titik terhadap hiperbola untuk titik pada hiperbola. Sebuah titik dikatakan terletak pada hiperbola jika titik koordinat tersebut berada garis lengkung hiperbola. Kriteria titik pada hiperbola dapat ditentukan melalui persamaan berikut.

kriteria kedudukan titik pada hiperbola

Contoh soal menentukan kriteria titik pada hiperbola

Selidikilah kedudukan titik (0, 3) terhadap hiperbola yang memiliki persamaan berikut.

    \[ \frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{9} = -1 \]

Jawab:

Substitusi nilai x dan y, titik koordinat (0, 3), pada persamaan hiperbola.

    \[ \frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{9} = -1 \]

    \[ \frac{0^{2}}{4} - \frac{\left( 3 \right)^{2}}{9} (...) -1 \]

    \[ \frac{0}{4} - \frac{9}{9} ( ... ) -1 \]

    \[ 0 - \frac{9}{9} ( ... ) -1 \]

    \[ - \frac{9}{9} (...) -1 \]

    \[  - \frac{9}{9} = -1 \]

Berdasarkan perhitungan di atas, dapat disimpulkan bahwa titik (0, 3) berada pada hiperbola. Sesuai dengan kriteria kedudukan titik terhadap hiperbola untuk titik pada hiperbola. Untuk lebih meyakinkan sobat idschool, perhatikan letak titik terhadap hiperbola sesuai dengan soal yang berikan.

titik pada hiperbola

Terlihat bahwa, letak titik berada di lengkung hiperbola. Berikutnya akan diulas titik di luar hiperbola.

 

Titik di Luar Hiperbola

Pembahasan berikutnya adalah mengetahui letak titik terhadap hiperbola untuk titik di luar hiperbola. Sebuah titik dikatakan terletak di luar hiperbola jika titik koordinat tersebut berada di luar area lengkungan hiperbola.

Kriteria titik di luar hiperbola dapat ditentukan melalui persamaan yang diberikan di bawah.

kriteria titik terletak di luar hiperbola

Contoh soal menentukan kriteria titik di luar hiperbola

Selidikilah kedudukan titik (3, -1) terhadap hiperbola yang memiliki persamaan berikut.

    \[ \frac{ \left(x - 1 \right)^{2}}{9} - \frac{ \left(y - 2 \right)^{2}}{4} = 1 \]

Jawab:

Substitusi nilai x dan y, titik koordinat (3, -1), pada persamaan hiperbola.

    \[ \frac{ \left(x - 1 \right)^{2}}{4} - \frac{ \left(y - 2 \right)^{2}}{9} = 1 \]

    \[ \frac{ \left(3 - 1 \right)^{2}}{4} - \frac{ \left(1 - 2 \right)^{2}}{9} ( ... ) 1 \]

    \[ \frac{ 2^{2}}{4} - \frac{ \left( -1 \right)^{2}}{9} ( ... ) 1 \]

    \[ \frac{4}{4} - \frac{1}{9} ( ... ) 1 \]

    \[ \frac{36}{36} - \frac{4}{36} ( ... ) 1 \]

    \[ \frac{32}{36} ( ... ) 1 \]

    \[ \frac{8}{9} ( ... ) 1 \]

    \[ \frac{8}{9} < 1 \]

Berdasarkan perhitungan di atas, dapat disimpulkan bahwa titik (3, -1) berada di luar parabola. Sesuai dengan kriteria kedudukan titik terhadap hiperbola untuk titik di luar hiperbola. Untuk lebih meyakinkan sobat idschool, perhatikan letak titik terhadap hiperbola sesuai dengan soal yang berikan pada gambar di bawah.

titik di luar hiperbola

Demikianlah pembahasan mengenai tiga kriteria untuk menentukan kedudukan titik terhadap hiperbola.

Kesimpulan krtiteria untuk menentukan kedudukan titik terhadap hiperbola dapat dilihat pada tabel di bawah.

kedudukan titik terhadap hiperbola

Sekian pembahasan mengenai kedudukan titik terhadap hiperbola. Terimakasih sudah mengunjungi idschool(dot)net, semoga bermanfaat!

Baca Juga: Irisan Kerucut (Lingkaran, Elips, Parabola, Hiperbola)