Rumus Trigonometri Sudut Pertengahan

By | November 8, 2017

Dalam materi trigonometri, ada rumus jumlah dan selisih dua sudut dan rumus sudut rangkap. Rumu tersebut digunakan untuk menghitung nilai suatu sudut yang tidak termasuk sudut istimewa. Selain itu, rumus trigonometri juga memiliki rumus trigonometri sudut pertengahan. Seperti halnya rumus jumlah dan selisih dua sudut serta rumus sudut rangkap, rumus trigonometri sudut pertengahan juga digunakan untuk menentukan nilai fungsi trigonometri suatu sudut (utamanya untuk bukan sudut istimewa) tanpa alat bantu hitung seperti kalkulator atau tabel. Contoh sudut yang termasuk sudut istimewa adalah 30^{o}, 45^{o}, 60^{o}, 90^{o}, dan lain sebagainya. Sedangkan contoh sudut yang bukan merupakan sudut istimewa adalah 75^{o}, 105^{o}, dan lain sebagainya.

Rumus Trigonometri Sudut Pertengahan

 

Rumus Sinus Sudut Tengahan

 
Rumus Sinus Sudut Pertengahan
 
Bukti:
Untuk membuktikan rumus sinus sudut pertengahan, sobat dapat menggunakan rumus cosinus sudut rangkap yang sudah dibuktikan sebelumnya.

    \[ Cos 2A = 1 - 2sin^{2}A \]

Misalkan A = \frac{1}{2} \alpha, maka

    \[ cos 2 \left( \frac{1}{2} \alpha\right) = 1 - 2sin^{2}\left( \frac{1}{2} \alpha\right) \]

    \[ cos \; \alpha \; = \; 1 - 2sin^{2} \; \frac{1}{2} \alpha \]

    \[ 2sin^{2}\frac{1}{2} \alpha \;  = 1 - \; cos \; \alpha \]

    \[ sin^{2}\frac{1}{2} \alpha \;  = \frac{1 - cos \; \alpha }{2} \]

    \[ sin \; \frac{1}{2} \alpha \;  = \pm \sqrt{\frac{1 - cos \; \alpha}{2}} \]

Terbukti

 
Contoh Soal dan Pembahasan penggunaan rumus sinus sudut tengahan
Tentukan nilai dari sin \; 22,5^{o}!
Pembahasan:

    \[ sin 22,5^{o} = sin \frac{45^{o}}{2} \]

    \[ sin 22,5^{o} = sin  \frac{1}{2} \left( 45^{o} \right) \]

    \[ sin 22,5^{o} = \sqrt{\frac{1 - sin 45^{o}}{2}} \]

    \[ sin 22,5^{o} = \sqrt{\frac{1 - \frac{1}{2} \sqrt{2}}{2}} \]

    \[ sin 22,5^{o} = \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{4} \sqrt{3}} \]

 

Rumus Cosinus Sudut Tengahan

 
Rumus Cosinus Sudut Pertengahan
 
Bukti:
Bukti:
Untuk membuktikan rumus cosinus sudut pertengahan, sobat dapat menggunakan rumus cosinus sudut rangkap yang sudah dibuktikan sebelumnya.

    \[ Cos 2A = 2cos^{2}A - 1 \]

Misalkan A = \frac{1}{2} \alpha, maka

    \[ cos 2 \left( \frac{1}{2} \alpha\right) = 2cos^{2}\left( \frac{1}{2} \alpha\right) - 1 \]

    \[ cos \; \alpha \; = \; 2cos^{2} \; \frac{1}{2} \alpha - 1 \]

    \[ 2cos^{2}\frac{1}{2} \alpha \;  = 1 + cos \; \alpha \]

    \[ cos^{2}\frac{1}{2} \alpha \;  = \frac{1 + cos \; \alpha}{2} \]

    \[ cos \; \frac{1}{2} \alpha \;  = \pm \sqrt{\frac{1 + cos \; \alpha}{2}} \]

Terbukti

 
Contoh Soal dan Pembahasan penggunaan rumus cosinus sudut tengahan
Tentukan nilai dari sin \; 22,5^{o}!
Pembahasan:

    \[ cos 22,5^{o} = cos \frac{45^{o}}{2} \]

    \[ cos 22,5^{o} = cos \frac{1}{2} \left( 45^{o} \right) \]

    \[ cos 22,5^{o} = \sqrt{\frac{1 + cos 45^{o}}{2}} \]

    \[ cos 22,5^{o} = \sqrt{\frac{1 + \frac{1}{2} \sqrt{2}}{2}} \]

    \[ cos 22,5^{o} = \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{4} \sqrt{2}} \]

 
Baca Juga: Fungsi Trigonometri dan Sudut Istimewa pada Trigonometri
 

Rumus Tangen Sudut Pertengahan

 
Rumus tangen sudut pertengahan pertama:
Rumus Tangen Sudut Pertengahan
 
Bukti:
Untuk membuktikan rumus tangen sudut pertengahan, sobat dapat menggunakan rumus sinus dan cosinus sudut pertengahan yang telah dibuktikan di atas.

    \[ sin \; \frac{1}{2} \alpha \;  = \pm \sqrt{\frac{1 - cos \; \alpha }{2}} \]

    \[ cos \; \frac{1}{2} \alpha \;  = \pm \sqrt{\frac{1 + cos \; \alpha}{2}} \]

 
Sobat tahu bahwa fungsi tangen diperoleh dari tan \; \alpha = \frac{sin \; \alpha}{cos \; \alpha}, sehingga:

    \[ tan \; \alpha = \frac{sin \; \alpha}{cos \; \alpha} \]

    \[ tan \; \frac{1}{2} \alpha = \frac{sin \; \frac{1}{2} \alpha}{cos \; \frac{1}{2} \alpha} \]

    \[ tan \; \frac{1}{2}\alpha = \frac{\sqrt{\frac{1 - cos \; \alpha }{2}}}{\sqrt{\frac{1 + cos \; \alpha}{2}}} \]

    \[ tan \; \frac{1}{2}\alpha = \sqrt{\frac{1 - cos \; \alpha}{1 + cos \; \alpha} } \]

Terbukti

Selain rumus tangen sudut pertengahan di atas, terdapat dua rumus lain untuk menentukan nilai fungsi sinus sudut pertengahan yaitu tan \; \frac{1}{2} \alpha \; = \frac{sin \; \alpha}{1 + cos \; \alpha} dan tan \; \frac{1}{2} \alpha \; = \frac{1 - cos \; \alpha}{sin \; \alpha}.

Rumus tangen sudut pertengahan kedua:
Rumus Tangen Pertengahan
Bukti:

    \[ tan \; \frac{1}{2}\alpha = \sqrt{\frac{1 - cos \; \alpha}{1 + cos \; \alpha} \cdot \frac{1 + cos\; \alpha}{1 + cos\; \alpha}} \]

    \[ tan \; \frac{1}{2}\alpha = \sqrt{\frac{1 - cos^{2}\alpha}{\left(1 + cos \; \alpha \right)^{2}}} \]

    \[ tan \; \frac{1}{2}\alpha = \sqrt{\frac{sin^{2}\alpha}{ \left(1 + cos \; \alpha \right)^{2}}} \]

    \[tan \; \frac{1}{2} \alpha \; = \frac{sin \; \alpha}{1 + cos \; \alpha}\]

 
Rumus tangen sudut pertengahan ketiga:

Bukti

    \[ tan \; \frac{1}{2}\alpha = \sqrt{\frac{1 - cos \; \alpha}{1 + cos \; \alpha} \cdot \frac{1 - cos\; \alpha}{1 - cos\; \alpha}} \]

    \[ tan \; \frac{1}{2}\alpha = \sqrt{\frac{\left(1 - cos \; \alpha \right)^{2}}{1 - cos^{2} \; \alpha}} \]

    \[ tan \; \frac{1}{2}\alpha = \sqrt{\frac{\left(1 - cos \; \alpha \right)^{2}}{sin^{2} \; \alpha}} \]

    \[tan \; \frac{1}{2} \alpha \; = \frac{1 - cos \; \alpha}{sin \; \alpha}\]

 
Contoh Soal dan Pembahasan penggunaan rumus tangen sudut tengahan

    \[ tan 22,5^{o} = tan \frac{45^{o}}{2} \]

    \[ tan 22,5^{o} = tan \frac{1}{2} \left( 45^{o} \right) \]

    \[ tan 22,5^{o} = \sqrt{\frac{1-cos45^{o}}{1+cos45^{o}}} \]

    \[ tan 22,5^{o} = \sqrt{\frac{1-\frac{1}{2} \sqrt{2}}{1+\frac{1}{2} \sqrt{2}}} \]

    \[ tan 22,5^{o} = \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}} \]

    \[ tan 22,5^{o} = \sqrt{\frac{2-\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}}} \]

    \[ tan 22,5^{o} = \sqrt{\frac{2-\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}} \cdot \frac{2-\sqrt{2}}{2-\sqrt{2}}} \]

    \[ tan 22,5^{o} = \sqrt{\frac{4 - 4\sqrt{2} + 2}{4 - 2}} \]

    \[ tan 22,5^{o} = \sqrt{\frac{6 - 4\sqrt{2}}{2}} \]

    \[ tan 22,5^{o} = \sqrt{3 - 2\sqrt{2}}\]

 
Baca Juga: Rumus Trigonometri Sudut Rangkap