Sudut antara garis dan bidang adalah sudut yang dibentuk oleh gari g dengan proyeksinya pada bidang terkait. Cara menentukan besar sudut antara garis yang dibentuk dapat digunakan sebuah alat ukur sudut yang disebut busur derajat. Pada suatu bangun ruang, besar sudut antara garis dan bidang dapat dihitung dari keterangan panjang sisi-sisi yang diketahui atau dicari tahu. Persamaan yang digunakan untuk menghitung besar sudut dapat menggunakan fungs tigonometri, aturan sinus, atau aturan cosinus.
Sudut adalah daerah yang dibentuk antar dua buah ruas garis yang dinyatakan dalam satuan derajat ( o ). Sehingga sudut antara garis dan bidang diwakili oleh sebuah ruas garis dan proyeksi ruas garis tersebut pada bidang. Contoh sudut antara garis dan bidang ditunjukkan seperti gambar di bawah.
Baca Juga: Pasangan Garis Saling Sejajar, Berpotongan, dan Bersilangan pada Kubus ABCD.EFGH
Bagaimana cara mengetahui letak sudut antara garis dan bidang? Bagaimana cara menghitung besar sudut antara garis dan bidanng? Sobat idschool dapat mencari tahu jawabannya melalui ulasan di bawah.
Table of Contents
Rumus Besar Sudut Antara Garis dan Bidang pada Bangun Ruang
Sebuah bangun berbentuk kubus ABCD.EFGH tersusun atas garis dan bidang. Di mana panjang setiap garis penyusun kubus merupakan rusuk kubus yang memiliki panjang yang sama. Sedangkan bidang penyusun kubus berupa persegi dengan ukuran yang sama. Setiap perpotongan bidang sisi penyusun kubus membentuk sudut 90o (sudut siku-siku). Begitu juga dengan ruas garis rusuk dengan setiap bidang penyusun bidang sisi-sisi kubus juga membentuk sudut siku-siku.
Pada kubus terdapat diagonal sisi yang merupakan garis diagonal pada setiap bidang sisi-sisi kubus. Selain itu juga terdapat garis berupa diagonal ruang yang merupakan jarak terjauh titik-titik sudut pada kubus. Selain bidang sisi, kubus juga memiliki bidang diagonal yaitu daerah yang dibatasi oleh dua rusuk sejajar dan diagonal sisi saling sejajar.
Garis diagonal sisi dan ruang beserta bidang sisi atau bidang diaginal juga dapat membentuk suatu sudut dengan besar tertentu. Besar sudut dihitung setelah mengetahui letak sudut antara garis dan bidang.
Cara menghitung besar sudut dapat menggunakan persamaan rumus fungsi trigonometri atau aturan fungsi sinus/cosinus. Pemilihan cara dilakukan bergantung dari informasi apa yang diketahui.
Contoh cara menghitung besar sudut antara garis dan bidang:
Soal:
Tentukan besar sudut antara garis AH dan bidang ABCD pada kubus ABCD.EFGH!
Penyelesaian:
Bidang ABCD merupakan alas kubus ABCD.EFGH dan garis AH pada kubus ABCD.EFGH merupakan diagonal sisi kubus. Misalkan panjang rusuk kubus sama dengan r satuan maka panjang garis AH sama dengan r√2 satuan.
Antara garis AH dan bidang ABCD memiliki sebuah titik potong yaitu titik A. Sudut yang dibentuk antara garis AH dan bidang ABCD sama dengan sudut HAC. Besar sudut antara garis AH dapat dihitung seperti penyelesaian berikut.
Jadi, besar sudut antara garis AH dan bidang ABCD pada kubus ABCD.EFGH adalah60o.
Baca Juga: Persamaan Fungsi Trigonometri (Sin α, Cos α, dan Tan α)
Contoh Soal dan Pembahasan
Beberapa contoh soal di bawah dapat sobat idschool gunakan untuk menambah pemahaman bahasan di atas. Setiap contoh soal yang diberikan dilengkapi dengan pembahasannya. Sobat idschool dapat menggunakan pembahasan tersebut sebagai tolak ukur keberhasilan mengerjakan soal. Selamat Berlatih!
Contoh 1 – Soal Besar Sudut Antara Garis dan Bidang
Perhatikan gambar balok dengan ukuran seperti berikut!
Besar sudut antara garis EG dan bidang ABGH adalah ….
A. 20o
B. 30o
C. 45o
D. 50o
E. 60o
Pembahasan:
Berdasarkan keterangan yang diberikan pada soal dapat diperoleh informasi-informasi . Sehingga besar sudut antara garis EG dan bidang EBGH ditunjukkan seperti gambar berikut.
Besar sudut α dapat ditentukan melalui perbandingan panjang garis EG dan garis AG. Sehingga perlu untuk menghitung panjang kedua panjang garis EG dan AG terlebih dahulu.
Panjang panjang EG:
EG2 = EH2 + HG2
EG2 = 82 + (8√2)2
EG2 = 64 + 2×64
EG2 = 3×64
EG = √(3×64)
EG = √3 × √64
EG = √3 × 8 = 8√3 cm
Menghitung panjang AG:
AG2 = AE2 + EG2
AG2 = 82 + (8√3)2
AG2 = 64 + 192
AG2 = 256
AG = √256 = 16 cm
Besar sudut α:
Sin α = sisi depan/sisi miring
Sin α = 8/16
Sin α = 1/2
α = 30o
Jadi, besar sudut antara garis EG dan bidang ABGH adalah 30o.
Jawaban: B
Contoh 2 – Besar Sudut Antara Garis dan Bidang
Pembahasan:
Garis AH pada kubus ABCD.EFGH adalag diagonal sisi kubus tersebut. Sehingga panjang garis AH sama dengan panjang rusuk √2 satuan. Sudut antara garis AH dan bidang BDHF adakag sudut AHB. Di mana HB adalah diagonal ruang dengan panjang rusuk √3 satuan.
Misalkan kubus ABCD.EFG memiliki panjang rusuk sama dengan p satuan. Panjang garis AH adalah p√2 satuan dan panjang garis HB adalah p√3 satuan. Jarak proyeksi titik A ke bidang BDHF adalah titik O yang panjangnya sama dengan setengah diagonal ruang kubus yaitu p/22 satuan.
Besar sudut antara garis AH dan bidang BDHF dapat dicari seperti penyelesaian berikut.
Jadi, besar sudut anatara garis AH dan bidang diagonal BDHF pada kubus ABCD.EFGH adalah 30o.
Jawaban: A
Baca Juga: Cara Hitung Jarak 2 Garis Saling Bersilangan
Contoh 3 – Besar Sudut Antara Garis dan Bidang
Diketahui rusuk kubus ABCD.EFGH adalah a satuan, tangen sudut antara garis AH dan bidang BDHF adalah ….
A. 1/3
B. 1/2√3
C. 1/3√3
D. 1
E. √3
Pembahasan:
Diketahui bahwa besar sudut anatara garis AH dan bidang diagonal BDHF pada kubus ABCD.EFGH adalah 30o. Cara mendapatkan besar sudut tersebut ditunjukkan seperti pembahasan soal nomor 2. Sehingga, tangen sudut antara garis AH dan bidang BDHF dapat dihitung seperti cara berikut.
Menghitung tan 30o:
Jadi, tangen sudut antara garis AH dan bidang BDHF adalah 1/3√3.
Jawaban: C
Contoh 4 – Besar Sudut Antara Garis dan Bidang
Pembahasan:
Besar sudut antara garis CG dan bidang BDG sama dengan besar sudut antara garis CG dan garis GO. Di mana, O merupakan perpotongan diagonal sisi kubus pada sisi alas ABCD. Misalkan panjang rusuk kubus sama dengan r satuan maka panjang garis CG = r satuan dan panjang garis CO = r/2√2 satuan.
Letak dan besar sudut antara garis CG dan bidang BDG ditunjukkan seperti pada gambar berikut.
Jadi, tangen sudut antara garis CG dengan bidang BDG adalah √2.
Jawaban: D
Demikianlah tadi ulasan cara menentukan besar sudut antara garis dan bidang. Terima kasih sudah mengunjungi idschool(dot)net, semoga bermanfaat!
Baca Juga: Bagaimana Jarak Titik ke Titik pada Bangun Ruang?