Besar Sudut Antara Garis dan Bidang pada Bangun Ruang

Sudut antara garis dan bidang adalah sudut yang dibentuk oleh garis dengan proyeksi garis tersebut pada bidang. Cara menentukan besar sudut antara garis yang dibentuk dapat menggunakan sebuah alat ukur besar sudut yang disebut busur derajat. Untuk besar sudut antara garis dan bidang pada sebuah bangun dimensi tiga yang diketahui beberapa panjang rusuknya dapat ditentukan melalui sebuah perhitungan.

Rumus yang dapat digunakan dalam perhitungan besar sudut antara garis dan bidang meliputi fungsi tigonometri, aturan cosinus, dan beberapa fungsi lain. Bagaimana cara mengetahui letak dan besar sudut antara garis dan bidang? Sobat idschool dapat mencari tahu jawabannya melalui ulasan di bawah.

Besar sudut antara garis dan bidang pada dimensi tiga

Sudut adalah daerah yang dibentuk antara dua buah ruas garis. Satuan besar sudut dinyatakan dalam derajat (^o) atau radian (rad).

Besar sudut antara garis dan bidang pada dimensi tiga dapat dihitung setelah mengetahui sudut mana yang menjadi sudut antara garis dan bidang. Cara menentukan sudut manakah yang menjadi sudut antara garis dan bidang dilakukan dengan mengikuti langkah-langkah berikut.

• Jika garis dan bidang belum berpotongan, geser garis/bidang atau keduanya sehingga memiliki titik potong (berpotongan)
• Proyeksikan garis pada bidang sehingga terbentuk sebuah garis pada bidang
• Sudut antara garis dan bidang = sudut antara garis dan proyeksi garis tersebut pada bidang

Pada saat kedudukan garis dan bidang sejajar/berimpit, besar sudut yang terbentuk adalah 0^o. Sementara garis dan bidang yang berpotongan akan membentuk suatu sudut. Rumus yang dapat digunakan untuk menghitung besar sudut pada materi dimensi tiga adalah fungsi trigonometri dan aturan cosinus.

Misalkan, diketahui sebuah garis g terletak di luar bidang α dan garis g tidak sejajar dengan bidang tersebut. Geser garis g sehingga memiliki titik potong dengan α. Sudut yang terbentuk antara garis g dan proyeksi garis g pada bidang merupakan sudut antara garis g dan bidang α.

Baca Juga: Pasangan Garis Saling Sejajar, Berpotongan, dan Bersilangan pada Kubus ABCD.EFGH

Cara menghitung besar sudut antara garis dan bidang

Bagaimana cara menghitung besar sudut antara garis dan bidang terdapat pada perhitungan untuk menyelesaikan soal di bawah.

Soal:
Tentukan besar sudut antara garis AH dan bidang ABCD pada kubus ABCD.EFGH!

Penyelesaian:
Bidang ABCD merupakan alas kubus ABCD.EFGH dan garis AH pada kubus ABCD.EFGH merupakan diagonal sisi kubus.

Misalkan panjang rusuk kubus sama dengan r satuan maka panjang garis AH sama dengan r√2 satuan.

Antara garis AH dan bidang ABCD memiliki sebuah titik potong yaitu titik A. Sudut yang dibentuk antara garis AH dan bidang ABCD sama dengan sudut HAC.

Perhitungan yang dilakukan untuk menentukan besar ∠HAC terdapat pada cara berikut.

Jadi, besar sudut antara garis AH dan bidang ABCD pada kubus ABCD.EFGH adalah α = 60^o.

Baca Juga: Kumpulan Rumus dan Materi Dimensi Tiga

Contoh Soal dan Pembahasan

Beberapa contoh soal di bawah dapat sobat idschool gunakan untuk menambah pemahaman bahasan di atas. Setiap contoh soal yang diberikan dilengkapi dengan pembahasannya.

Sobat idschool dapat menggunakan pembahasan tersebut sebagai tolak ukur keberhasilan mengerjakan soal. Selamat Berlatih!

Contoh 1 – Soal Besar Sudut Antara Garis dan Bidang

Perhatikan gambar balok dengan ukuran seperti berikut!

Besar sudut antara garis EG dan bidang ABGH adalah ….
A. 20^o
B. 30^o
C. 45^o
D. 50^o
E. 60^o

Pembahasan:
Garis EG dan bidang ABGH memiliki titik potong di titik G. Besar sudut antara garis EG dan bidang EBGH sama dengan besar ∠EGA = α pada gambar balok di bawah.

Besar sudut α dapat ditentukan melalui perbandingan panjang garis AE (sisi depan sudut α) dan garis AG (sisi miring sudut α). Diketahui panjang AE = tinggi balok = 8 cm. Sementara panjang AG belum diketahui, sehingga perlu dihitung terlebih dahulu.

1) Menghitung panjang AG:
AG² = GH² + EH² + AE²
AG² = 8² + 8² + (8√2)²
AG² = 64 + 64 + 128 = 256
AG = √256 = 16 cm

Panjang garis EG dan AG dapat digunakan untuk menentukan besar sudut antara garis EG dan bidang ABGH.

2) Menentukan besar sudut α:

Jadi, besar sudut antara garis EG dan bidang ABGH adalah α = 30^o.

Jawaban: B

Contoh 2 – Besar Sudut Antara Garis dan Bidang

Pembahasan:
Garis AH dan bidang BDHF berpotongan di titik H. Proyeksi garis AH pada bidang BDHF adalah garis HO. Sehingga sudut antara garis AH dan bidang BDHF adalah ∠AHO.

Misalkan kubus memiliki panjang rusuk p. Panjang garis diagonal bidang kubus adalah AC = AH = p satuan. Titik O adalah titik perpotongan garis diagonal bidang kubus. Panjang garis AO = OC = ¹/₂ × AC = ^p/₂√2 satuan.

Menentukan besar sudut antara garis AH dan bidang BDHF:

Jadi, besar sudut anatara garis AH dan bidang diagonal BDHF pada kubus ABCD.EFGH adalah 30^o.

Jawaban: A

Contoh 3 – Besar Sudut Antara Garis dan Bidang

Pembahasan:
Besar sudut antara garis CG dan bidang BDG sama dengan besar sudut antara garis CG dan garis GO. Di mana titik O merupakan perpotongan diagonal bidang kubus pada sisi ABCD.

Misalkan panjang rusuk kubus sama dengan r satuan maka panjang garis CG = r satuan dan panjang garis CO = ^r/₂√2 satuan.

Letak dan besar sudut antara garis CG dan bidang BDG ditunjukkan seperti pada gambar berikut.

Jadi, tangen sudut antara garis CG dengan bidang BDG adalah √2.

Jawaban: D

Demikianlah tadi ulasan cara menentukan besar sudut antara garis dan bidang. Terima kasih sudah mengunjungi idschool(dot)net, semoga bermanfaat!

Baca Juga: Kumpulan contoh soal dimensi tiga dan Pembahasannya