Besar Sudut Antara 2 Bidang dan Cara Menentukan Letak Sudut

Sudut antara 2 bidang yang berpotongan adalah sudut yang terbentuk oleh dua garis yang terletak pada masing-masing bidang. Di mana setiap garis pada bidang saling tegak lurus pada garis potong kedua bidang di satu titik. Satuan sudut dapat dinyatakan dalam bentuk derajat ( ^o ) atau radian (rad), dengan besar sudut 180^o sama dengan π radian.

Pengertian sudut sendiri adalah daerah yang dibentuk dari perpotongan dua buah sinar garis. Sudut antara 2 bidang terdapat pada bidang yang memuat sudut tumpuan yang disebut dengan bidang tumpuan. Besar sudut antara 2 bidang sama dengan besar sudut tumpuan antara dua bidang yang berkaitan. Misalnya ∠QPS merupakan sudut tumpuan anatara bidang α dan bidang β. Bidang yang memuat sudut tumpuan (∠QPS) merupakan bidang tumpuan. Pada gambar di bawah, bidang tumpuan ditunjukkan pada bidang γ.

Baca Juga: Materi Pengantar Dimensi Tiga

Bagaimana cara menentukan bagian sudut antara dua bidang? Bagaiman cara menghitung besar sudut antara 2 bidang? Sobat idschool dapat mencari tahu jawabannya melalui ulasan di bawah.

Table of Contents

• Cara Menentukan Letak Sudut Antara 2 Bidang
• Besar Sudut Antara 2 Bidang
• Contoh Soal dan Pembahasan
  • Contoh 1 – Soal Sudut Antara 2 Bidang
  • Contoh 2 – Soal Sudut Antara 2 Bidang

Cara Menentukan Letak Sudut Antara 2 Bidang

Terdapat dua buah bidang yaitu buidang α dan bidang β. Kedua bidang tersebut berpotongan pada sebuah garis g. Sebuah garis ℓ dibuat pada bidang α yang tergak lurus garis g dan melalui titik T. Pada bidang β terdapat garis k yang juga tegak lurus dengan garis g dan melalui T, sehingga didapat < ATB yang merupakan sudut tumpuan antara bidang α dan β

Letak sudut antara dua bidang ditunjukkan seperti contoh di bawah.

Secara ringkas, langkah-langkah menentukan besar sudut antara bidang dan bidang sesuai dengan urutan berikut.

1. Menentukan garis g yang merupakan perpotongan antara 2 bidang
2. Menentukan sebuah titik T yang terletak pada garis g
3. Membuat garis ℓ pada bidang pertama yang tegak lurus dengan garis g dan melalui titik T
4. Membuat garis k pada bidang kedua yang tegak lurus dengan garis g dan melalui titik T
5. Sudut antara bidang pertama dan bidang kedua adalah sudut yang dibentuk oleh garis ℓ dan garis g

Baca Juga: Jarak pada Dimensi Tiga (R3)

Besar Sudut Antara 2 Bidang

Simbol suatu sudut biasa dinyatakan dengan sebuah huruf besar ∠A. Atau penulisan simbol juga dapat menggunakan tiga huruf seperti ∠BAC, di mana huruf pada bagian tengah merupakan sudut yang ditunjuk. Untuk besar sudut dapat dinyatakan dalam simbol α (alfa), β (beta), θ (teta), dan lain sebagainya. Contoh penulisan besar sudut misalnya α = 30^o, β = 60^o, θ = 45^o, dan lain sebagainya.

Besar sudut dapat dinyatakan dalam nilai sinus (sin), cosinus (cos), atau tangen (tan). Sebagai contoh sin 30^o = ¹/₂, cos 60^o = ¹/₂, atau tan 45^o = 1. Nilai-nilai sudut tersebut sesuai dalam rumus persamaan trigonometri dengan sudut-sudut istimewa. Secara umum, nilai fungsi sinus dan cosinus dapat dinyatakan melalui hubungan sudut dan panjang sisi-sisi segitiga seperti berikut.

Contoh Cara Menghitung Besar Sudut Antara 2 Bidang

Soal:
Tentukan besar sudut antara bidang ABGH dan bidang ABCD pada kubus ABCD.EFGH!

Penyelesaian:
Gambarkan sebuah kubus ABCD.EFGH dan mulai perhatikan bidang ABGH dan bidang ABCD. Kedua bidang tersebut berpotongan pada sebuah garis AB yang memuat sebuah titik P (misalkan).

Buatlah sebuah garis pada bidang ABGH yang melalui titik P dan tegak lurus garis AB yaitu garis TP.  Buat juga sebuag garis pada bidang ABCD yang melalui titik P dan tegak lurus garis AB yaitu garis SP. Besar sudut antara bidang ABGH dan ABCD sama dengan besar sudut antara garis TP dan SP.

Misalkan panjang rusuk kubus adalah r maka panjang garis SP = ST sama dengan panjang rusuk kubus yaitu r. Sedangkan panjang garis TP sama dengan panjang diagonal sisi kubus ABCD.EFGH yang sama dengan r√2.

Besar sudut antara bidang ABCD dan ABGH dapat dihitung seperti pada cara yang ditunjukkan di bawah.

Jadi, besar sudut antara bidang AEGD dan bidang ABCD sama dengan sudut antara garis α = 45^o.

Baca Juga: Cara Menghitung Jarak 2 Garis Bersilangan pada Kubus ABCD.EFGH

Contoh Soal dan Pembahasan

Beberapa contoh soal di bawah dapat sobat idschool gunakan untuk menambah pemahaman bahasan sudut antara 2 bidang di atas. Setiap contoh soal sudut antara 2 bidang yang diberikan dilengkapi dengan pembahasannya. Sobat idschool dapat menggunakan pembahasan tersebut sebagai tolak ukur keberhasilan mengerjakan soal. Selamat Berlatih!

Contoh 1 – Soal Sudut Antara 2 Bidang

Diketahui kubus ABCD.EFGH memiliki panjang rusuk sama dengan 2 cm. Jika titik T adalag titik tengah garis AB maka sinus sudut antara bidang ETD dan bidang ADHE adalah ….
A. ¹/₂√3
B. ¹/₃√3
C. ¹/₂√6
D. ¹/₃√6
E. ¹/₆√6

Pembahasan:

Bidang ETD dan ADHE berpotongan pada garis ED yang terdapat sebuah titik P. Dibuat garis AP yang terletak pada bidang ADHE dan tegak lurus garis ED. Dibut juga garis TP yang terletak pada bidang ETD dan tegak lurus garis ED. Besar sudut yang dimaksud pada soal ditunjukkan seperti gambar berikut.

Besar sudut antara bidang ET dan bidang ADHE sama dengan besar sudut antara garis TP dan garis AP yaitu ∠APT.

Menghitung panjang AT:
AT = ¹/₂ panjang rusuk kubus
AT = ¹/₂ × 2 = 1 cm

Menghitung panjang PT:
PT² = AP² + AT²
PT² = (√2)² + 1²
PT² = 2 + 1 = 3
PT = √3 cm

Besar sinus sudut tersebut dapat dihitung melalui perbandingan sisi depan dan sisi miring segitiga APT. Perhitungan besar sudut sinus ditunjukkan seperti cara berikut.

Sin ∠AMT = ^AT/_PT
Sin ∠AMT = ¹/_√3 = ¹/_√3 × ^√3/_√3
Sin ∠AMT = ^√3/₃ = ¹/₂√3

Jadi, sinus sudut antara bidang ETD dan bidang ADHE adala ¹/₃√3.

Jawaban: B

Contoh 2 – Soal Sudut Antara 2 Bidang

Diketahui limas persegi T.ABCD dengan rusuk alas 2 cm dan rusuk tegak 3 cm. Jika sudut antara bidang TAD dan bidang TAB adalah α maka cos α adalah ….
A. ‒¹/₂
B. ‒¹/₄
C. ‒¹/₆
D. ‒¹/₇
E. ‒¹/₈

Pembahasan:

Perpotongan bidang TAD dan TAB adalah ruas garis TA dan misalkan adalah sebuah titik pada garis TA. Garis BP berada pada bidang TAB melalui titik P dan tegak lurus dengan garis TA. Begitu juga dengan garis DP berada pada bidang TAD melalui titik P dan tegak lurus TA.

Sehingga dapat diperoleh gambar dengan keterangan letak sudut antara 2 bidang untuk bidang TAD dan bidang TAB seperti berikut.

Agar dapat menentukan cos α perlu ditentukan panjang sisi DP, PB, dan BD. Dari gambar dapat disimpulkan bahwa garis DP sama dengan BP.

Baca Juga: Cara Hitung Jarak Garis ke Garis pada Suatu Bangun Ruang

Selanjutnya perhatikan segitiga ABTdan garis PB yang terletak pada limas yang dapat digambarkan ulang seperti di bawah.

Sebelum menghitung nilai PB perlu dihitung TT’ terlebih dahulu. Selanjutnya panjang PB dapat dihitung dengan perbandingan luas segitiga TAB.

Menghitung panjang TT’:
TT’² = BT² – BT’²
TT’² = 3² – 1²
TT’² = 9 – 1 = 8
TT’ = √8
TT’ = √(4×2)
TT’ = √4 ×√2 = 2√2 cm

Menghitung panjang PB:
¹/₂ × AB × TT’ = ¹/₂ × TA × PB
AB × TT’ = TA × PB
2 × 2√2 = 3 × PB
3PB = 4√2
PB = ⁴/₃√2 cm

Selanjutnya perhatikan segitga BPD yang memuat sudut antara bidang TAB dan TAD.

Dengan aturan cosinus dapat diperoleh nilai cos α seperti cara yang ditunjukkan berikut.

BD² = BP² + DP² – 2 × BP × DP × cos α
(2√2)² = (⁴/₃√2)² + (⁴/₃√2)² – 2 × ⁴/₃√2 × ⁴/₃√2 × cos α
8 = ¹⁶/₉×2 + ¹⁶/₉×2 – 2 × ¹⁶/₉ × 2 × cos α
8 = ³²/₉ + ³²/₉ – ⁶⁴/₉ × cos α
8 = ⁶⁴/₉ – ⁶⁴/₉ × cos α
⁶⁴/₉ × cos α = ⁶⁴/₉ – 8
⁶⁴/₉ × cos α = ⁶⁴/₉ – ⁷²/₉
⁶⁴/₉ × cos α = –⁸/₉
cos α = –⁸/₉ × ⁹/₆₄
cos α = –⁸/₆₄ = –¹/₈

Jadi, sudut antara bidang TAD dan bidang TAB adalah α maka cos α adalah ‒¹/₈.

Jawaban: E

Demikianlah tadi ulasan sudut antara 2 bidang, terimakasih sudah mengunjungi idschool(dot)net, semoga bermanfaat!

Baca Juga: Pasangan Garis Saling Sejajar, Berpotongan, dan Berimpit pada Kubus ABCD.EFGH