Jumlah dan Hasil Kali Akar Akar Polinomial

Jumlah dan hasil kali akar akar polinomial dapat dinyatakan dalam sebuah persamaan untuk mempermudah perhitungan. Bentuk persamaan jumlah dan hasil kali akar kar polinomial dapat membantu untuk menyelesaikan variasi soal suku banyak atau polinomial. Pada pembahasan persamaan kuadrat, sobat idschool pasti tahu bahwa banyaknya akar-akar rasional persamaan kuadrat adalah 2 (dua). Untuk persamaan dengan pangkat tertinggi sama dengan tiga, atau biasa disebut polinomial berderajat 3 (tiga), memiliki banyak akar-akar rasional sebanyak 3 (tiga). Begitu juga untuk polinomial berderajat 4, 5, dan seterusnya.

Banyaknya akar – akar rasional suku banyak dapat diketahui melalui pangkat tertinggi dari suku banyak terkait.

Akar-akar Persamaan Suku Banyak

Cara menentukan akar akar persamaan polinomial berderajat tinggi tidak akan di bahas pada pembahasan kali ini. Cara menentukan akar-akar persamaan poliniomial dapat dilihat pada halaman cara menentukan akar-akar polinomial berderajat tinggi dengan cara horner. Pada halaman ini, fokus pembahasan kita adalah menggunakan rumus jumlah dan hasil kali akar akar polinomial.

Jika diberikan soal untuk menentukan hasil perkalian semua akar-akar polinomial suatu akar banyak, mencari semua akar-akar rasional dari suatu suku banyak kemudian mencari hasil kali semua akar-akarnya bukan merupakan cara yang baik. Membutuhkan waktu yang cukup lama. Untuk itu, ayo simak rumus mencari jumlah dan hasil akar akar polinomial yang akan di bahas berikut.

Table of Contents

Rumus Jumlah dan Hasil Kali Akar Akar Polinomial Berderajat 2, 3, dan 4

Pada pembahasan di bawah, akan dijelaskan mengenai rumus jumlah dan hasil kali akar-akar polinomial berderajat 2, 3, dan 4. Simak pembahasan lanjutannya di bawah.

Polinomial Berderajat 2:
Bentuk umum polinomial berderajat 2 adalah ax2 + bx + c = 0

Bentuk Umum Suku Banyak Derajat 2

Rumus jumlah dan hasil kali akar akar polinomial berderajat 2:
x1 + x2 = ‒b/a
x1 ∙ x2 = c/a

Polinomial Berderajat 3:
Bentuk umum polinomial berderajat 2 adalah ax3 + bx2 + cx + d = 0

Bentuk Umum Suku Banyak Derajat 3

Rumus jumlah dan hasil kali akar akar polinomial berderajat 3:
x1 + x2 + x3 = ‒b/a
x1 ∙ x2 + x1 ∙ x3 + x2 ∙ x3 = c/a
x1 ∙ x2 ∙ x3 = ‒d/a

Polinomial Berderajat 4
Bentuk umum polinomial berderajat 2 adalah ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0

Bentuk Umum Suku Banyak Derajat 4

Rumus Jumlah dan Hasil Kali Akar-akar polinomial berderajat 4:
x1 + x2 + x3 + x4 = ‒b/a
x1 ∙ x2 + x1 ∙ x3 + x1 ∙ x4 + x2 ∙ x3 + x2 ∙ x4 + x3 ∙ x4 = c/a
x1 ∙ x2 ∙ x3 + x1 ∙ x2 ∙ x4 + x2 ∙ x3 ∙ x4 = ‒d/a
x1 ∙ x2 ∙ x3 ∙ x4 = e/a

Baca Juga: Operasi Hitung Polinomial (Suku Banyak)

Bentuk Umum Rumus Jumlah dan Hasil Kali Akar-akar Polinomial

Selain bentuk polinomial berderajat 2, 3, dan 4 seperti yang telah dibahas di atas, terdapat rumus umum untuk jumlah dan hasil kali akar-akar polinomial berderajat n. Bentuk umum suku banyak berderajat n dapat dilihat pada gambar di bawah.

Bentuk Umum Polinomial Derajat n

Rumus Jumlah dan hasil kali akar-akar rasional berderajat n.

Contoh Soal Jumlah dan Hasil Kali Akar-Akar Polinomial

Baca Juga: Nilai Suku Banyak di Suatu Titik

Contoh Penggunaan Rumus Jumlah dan Hasil Kali Akar Akar Polinomial

Jika salah satu akar dari persamaan 6x3 + mx2 ‒ 3x + 2 = 0 adalah 2, maka jumlah ketiga akar persamaan tersebut adalah ….
A. 11/6
B. 2
C. 13/6
D. 14/6
E. 15/6

Pembahasan:
Subtitusi nilai x = 2 untuk mendapatkan nilai m:
6 × 23 + m × 22 ‒ 3 × 2 + 2 = 0
6 × 8 + m × 4 ‒ 3 × 2 + 2 = 0
48 + 4m ‒ 6 + 2 = 0
4m = ‒48 + 6 ‒ 2
4m = ‒44
m = ‒44/4 = ‒11

Sehingga, persamaan suku banyak menjadi 6x3 + mx2 ‒ 3x + 2 = 0
Berdasarkan polinomial di atas dapat diperoleh data a3 = 6, a2 = ‒11, a1 = ‒3, dan a0 = 2.

Gunakan rumus jumlah akar – akar rasional untuk menentukan ketiga jumlah akarnya.
x1 + x2 + x2 = ‒a2/a3
x1 + x2 + x2 = ‒(‒11)/6 = 11/6

Jawaban: A

Sekian pembahasan mengenai Jumlah dan Hasil Kali Akar Akar Polinomial. Jika ada bagian yang tidak paham bisa tinggalkan komentar di bawah. Terimakasih sudah mengunjungi idschool.net, semoga bermanfaat.

Baca Juga: Contoh Soal Kesamaan Suku Banyak

Leave a Reply

Your email address will not be published.

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.