Garis singgung elips adalah sebuah garis lurus yang memotong elips pada satu titik. Persamaan garis singgung elips dicari menggunakan rumus. Ada 2 jenis rumus garis singgung elips yang perlu diketahui. Lebih lanjut mengenai rumus persamaan garis singgung elips dijelaskan di bawah.
Daftar isi:
Garis singgung elips
Sebuah garis lurus y = mx + t memotong elips pada satu titik. Garis lurus tersebut adalah garis singgung elips. Hanya ada satu titik potong antara garis dan elips. Seperti gambar berikut.
Elips dapat memiliki dua buah garis singgung. Kedudukan garis singgung dapat saling sejajar atau tegak lurus. Bentuk garis singgung elips yang saling sejajar dan tegak lurus ada pada gambar berikut.
Perlu diingat, dua garis sejajar memiliki gradien yang sama. Sedangkan gradien garis lurus saling tegak lurus, hasil kali gradiennya sama dengan –1.
Baca Juga: Kedudukan Titik Terhadap Elips
Rumus Persamaan Garis Singgung Elips
Sebuah elips memiliki suatu bentuk umum persamaan. Persamaan elips yang memiliki titik pusat di O(0, 0) adalah berikut.
Untuk persamaan elips yang memiliki titik pusat di P(p, q):
Rumus persamaan garis singgug elips dibedakan menjadi dua. Yaitu rumus untuk garis yang diketahui gradiennya dan rumus garis singgung yang melalui suatu titik.
1) Diketahui nilai gradien garis
Ada empat rumus garis singgung elips saat diketahui gradiennya. Dibedakan berdasarkan pusat elips dan nilai sumbu mayor/minor. Rumus garis singgung elips yang diketahui gradiennya ada pada tabel di bawah.
Contoh Soal:
Tentukan persamaan garis singgung
Jawab:
Dari persamaan elips diketahui a2 = 8 dan b2 = 3. Diketahui garis singgung memiliki gradien m = 2.
Rumus garis singgung yang digunakan y = mx ± √(a2m2 + b2).
Sehingga,
y = 2x ± √(8 × 22 + 3)
y = 2x ± √(8×4 + 3) = 2x ± √35
Jadi, persamaan garis singgung elips yang dicari adalah y = 2x ± √35.
Baca Juga: Kedudukan Titik Terhadap Elips
2) Diketahi 1 titik yang dilalui garis
Ada lima rumus persamaan garis singgung elips di sini. Kelima rumus garis singgung yang diketahui melalui satu titik ada pada tabel di bawah.
Contoh Soal:
Tentukan garis singgung
Jawab:
Rumus garis singgung yang digunakan ada di bawah.
Sehingga,
Kedua ruas dikalikan 12:
x – 3y = 12
x – 3y – 12 = 0
Jadi, persamaan garis singgung elipsnya adalah x – 3y – 12 = 0.
Baca Juga: Irisan Kerucut
Contoh Soal dan Pembahasan
Latihan soal menentukan persamaan garis singgung elips ada di bawah!
Soal 1
Diberikan persamaan elips:
Persamaan garis singgung yang melalui titik (9, 4) dan menyinggung elips tersebut adalah ….
A. x + y = 13
B. x – y = 13
C. x + y = 7
D. x – y = 7
E. x + y = 1
Pembahasan:
Rumus garis singgung yang digunakan adalah,
Diketahui garis singgung melalui titik (9, 4). Titik pusat elips berada di (5, 1). Substitusi p = 5, q = 1, x1 = 9, dan y1 = 4 ke rumus garis singgung elips.
Sehingga,
x + y = 7 + 5 + 1
x + y = 13
Jadi, persamaan garis singgung yang melalui titik (9, 4) dan menyinggung elips tersebut adalah x + y = 13.
Jawaban: A
Soal 2
Persamaan garis singgung elips dengan persamaan x2 + 4y2 = 4 dan sejajar dengan garis y = x + 3 adalah ….
A. y = x + 25
B. y = x + √5
C. y = x + 1
D. y = x – 5
E. y = x + 5
Pembahasan:
Diketahui persamaan elips x2 + 4y2 = 4. Persamaan dapat dibentuk seperti berikut (kedua ruas dibagi 4).
Garis lurus yang akan dicari sejajar garis y = x + 3 (gradien = 1). Maka gradien garis lurus yang akan dicari adalah m = 1.
Rumus garis singgung yang digunakan:
y = mx ± √(a2m2 + b2)
Sehingga,
y = 1 · x ± √(22 · 12 + 12)
y = x ± √(4 + 1) = x ± √5
Jadi, persamaan garis singgungnya adalah y = x + √5 atau y = x – √5.
Jawaban: B
Soal 3
Persamaan garis singgung elips x2 + 4y2 – 4x + 8y – 8 = 0 yang melalui titik (2, 1) adalah ….
A. 2x + y + 4 = 0
B. 2x + y – 4 = 0
C. 2x – 3y + 4 = 0
D. 2y + 3 = 0
E. y – 1 = 0
Pembahasan:
Persamaan elips dapat dibentuk ke persamaan kuadrat sempurna dengan cara seperti berikut.
x2 + 4y2 – 4x + 8y – 8 = 0
x2 – 4x + 4 + 4y2 + 8y + 4 = 8 + 4 + 4
Hasilnya,
(x – 2)2 + 4(y2 + 2y + 1) = 16
(x – 2)2 + 4(y + 1)2 = 16
Bagi kedua ruas dengan 16:
Titik pusat elips berada di (2, –1), sumbu mayor a = √16 = 4, dan sumbu minor b = √4 = 2. Garis lurus diketahui melalui titik (2, 1).
Rumus garis singgung yang digunakan:
Sehingga,
y + 1 = 2
y – 1 = 0
Jadi, persamaan garis singgung elips x2 + 4y2 – 4x + 8y – 8 = 0 yang melalui titik (2, 1) adalah y – 1 = 0.
Jawaban: E
Sekian ulasan persamaan garis singgung elips dsn contoh soalnya. Terima kasih sudah mengunjungi idschool(dot)net, semoga bermanfaat!
