Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV)

By | July 28, 2017

Sistem persamaan adalah himpunan persamaan yang saling berhubungan. Variabel merupakan nilai yang dapat berubah – ubah. Persamaan linear adalah suatu persamaan yang memiliki variabel dengan pangkat tertingginya adalah 1 (satu). Sistem persamaan linear Dua Variabel (SPLDV) merupakan suatu sistem yang terdiri atas dua persamaan linier yang mempunyai dua variabel. Dalam sebuah Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV) biasanya melibatkan dua persamaan dengan dua variabel.

Sebelum ke pembahasan sistem persamaan linear dua variabel, kenali terlebih dahulu apa itu persamaan linear? Sebuah persamaan linear memiliki komponen yang meliputi variabel, koefisien, dan konstanta. Variabel adalah nilai yang dapat berubah – ubah. Koefisien adalah bilangan yang berada di depan variabel. Satu lagi, konstanta adalah bilangan yang tidak diikuti oleh variabel.

Persamaan Linear

Cukup penting bagi sobat idschool mengetahui mana itu variabel, yang mana koefisien, dan apa itu konstanta. Perlu diingat pula bahwa persamaan linear satu variabel memiliki karakteristik sebagai persamaan dengan pangkat tertinggi dari semua variabel dalam persamaan adalah satu.

Perhatikan persamaan yang bukan SPLDV dan persamaan yang merupakan SPLDV berikut.

Contoh bukan SPLDV:

    \[ 2x^{2} + 5x = 14 \]

    \[ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 2 \]

Contoh SPLDV:

    \[2x + 5y = 14\]

    \[3a + 4b =24\]

    \[q + r = 3\]

Kemudian, bentuk umum sistem persamaan linier dua variabel (SPLDV):

    \[ ax + by = c \]

    \[ dx + ey = f \]

Terdapat beberapa cara/metode untuk menyelesaikan permasalahan terkait Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV). Metode-metode tersebut diantaranya adalah

  1. Metode Substitusi
  2. Metode Eliminasi
  3. Metode Gabungan
  4. Metode Grafik.

Selanjutnya, hasil penyelesaian SPLDV dinyatakan dalam pasangan terurut (x, y).

Melalui halaman ini, sobat idschool dapat mengetahui proses pengerjaan SPLDV dengan berbagai metode. Untuk mengetahui perbedaan setiap metode, akan disajikan dalam pengerjaan sebuah soal dengan keempat metode tersebut.

Permasalahan dalam SPLDV yang akan diselesaikan adalah dua bersamaan berikut.

  • Persamaan pertama: 2x + 3y = 8
  • Persamaan Kedua: 3x + y = 5

Akan ditentukan nilai x dan y yang memenuhi kedua persamaan di atas!

Penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel – SPLDV di atas akan diselesaikan dengan keempat metode.

Metode Substitusi

Pembahasaan pertama untuk menyelesaikan permasalahan sistem penyelesaian dua variabel seperti pada dua persamaan yang diberikan di atas adalah dengan metode substitusi. Ada beberapa langkah yang perlu dilakukan untuk menyelesaikan SPLDV dengan metode substitusi. Berikut ini adalah langkah – langkah menyelesaikan SPLDV dengan metode substitusi.

Langkah-langkah menyelesaikan SPLDV dengan metode substitusi:

  1. Mengubah salah satu persamaan menjadi bentuk y = ax + b atau x = cy + d

    TRIK!! Pilih persamaan yang paling mudah untuk diubah

  2. Substitusi nilai x atau y yang diperoleh pada langkah pertama ke persamaan yang lainnya.
  3. Selesaikan persamaan untuk mendapatkan nilai x atau y.
  4. Substitusi nilai x atau y yang diperoleh pada langkah ketiga pada salah satu persamaan untuk mendapatkan nilai dari variabel yang belum diketahui.
  5. Penyelesaiannya adalah (x, y).

Lihat kembali permasalahan dalam SPLDV seperti pada dua persamaan yang telah diberikan di atas.

Kedua persamaan itu adalah:

  • 2x + 3y = 8 persamaan (i)
  • 3x + y = 5 persamaan (ii)

Penyelesaian permasalahan dengan metode substitusi:

Langkah 1: mengubah salah satu persamaan menjadi bentuk y = ax + b atau x = cy + d

Mengubah persamaan (ii) ke dalam bentuk y = ax + b

3x + y = 5 → y = 5 – 3x

Langkah 2: substitusi y = 5 – 3x pada persamaan 2x + 3y = 8

2x + 3(5 – 3x) = 8

Langkah 3: selesaikan persamaan sehingga diperoleh nilai x

2x + 3(5 – 3x) = 8
2x + 15 – 9x = 8
2x – 9x = 8 – 15
– 7x = – 7 → x = 1

Langkah 4: substitusi nilai x = 1 pada persamaan 2x + 3y = 8 (pilih salah satu, bebas, hasilnya akan sama).

2x + 3y = 8
2(1) + 3y = 8
2 + 3y = 8
3y = 8 – 2
3y = 6 → y = 2

Langkah 5: penyelesaiannya adalah (x, y)

Hasil yang diperoleh x = 1 dan y = 2, jadi penyelesaiannya adalah (1, 2)

Baca Juga: Kumpulan Soal UN SMP – SPLDV

Bahasan berikutnya adalah penyelesaian SPLDV dengan metode eliminasi.

Metode Eliminasi

Setiap metode yang digunakan untuk menyelesaikan SPLDV akan mendapatkan hasil akhir yang sama. Cara kedua untuk menyelesaikan SPLDV adalah menggunakan metode eliminasi. Secara ringkas, dalam metode eliminasi adalah menghilangkan salah satu variabel untuk mendapatkan nilai dari satu variabel lainnya. Bagaimanakah caranya? Simak lebih lanjut pada proses pengerjaan SPLDV dengan metode eliminasi berikut.

Langkah-langkah menyelesaikan SPLDV dengan metode eliminasi:

  1. Menyamakan salah satu koefisien dari variabel x atau y dari kedua persamaan dengan cara mengalikan konstanta yang sesuai.
  2. Hilangkan variabel yang memiliki koefisien yang sama dengan cara menambahkan atau mengurangkan kedua persamaan.
  3. Ulangi kedua langkah untuk mendapatkan variabel yang belum diketahui.
  4. Penyelesaiannya adalah (x, y)

Akan digunakan soal yang sama untuk melihat proses pengerjaan SPLDV dengan metode eliminasi. Perhatikan kembali dua persamaan yang digunakan pada metode substitusi di atas.

  • 2x + 3y = 8 persamaan (i)
  •  3x + y = 5 persamaan (ii)

Penyelesaian permasalahan dengan metode eliminasi:

Langkah 1: menyamakan salah satu koefisien dari variabel x atau y dari kedua persamaan dengan cara mengalikan konstanta yang sesuai.

Metode Eliminasi

Langkah 2: hilangkan variabel yang memiliki koefisien yang sama dengan cara menambahkan atau mengurangkan kedua persamaan.

Metode Eliminasi SPLDV

Langkah 3: ulangi kedua langkah untuk mendapatkan variabel yang belum diketahui

Metode Eliminasi pada SPLDV

Langkah 4: penyelesaiannya adalah (x, y)

Hasil yang diperoleh x = 1 dan y = 2, jadi penyelesaiannya adalah (1, 2).

Diperoleh hasil yang sama, bukan?

Metode Gabungan (Eliminasi – Substitusi)

Metode gabungan merupakan penggabungan langkah dari metode substitusi dan eliminasi. Metode eliminasi mempunyai langkah awal yang cukup mudah dan singkat. Sedangkan metode substitusi mempunyai cara akhir yang baik. Kedua metode tersebut digabungkan untuk mempermudah pengerjaan.

Metode gabungan merupakan metode yang sering digunakan dalam menyelesaikan SPLDV karena dinilai lebih ringkas dan baik.

Langkah-langkah menyelesaikan SPLDV dengan metode eliminasi:

  • Cari nilai salah satu variabel x atau y dengan metode eliminasi.
  • Gunakan metode substitusi untuk mendapatkan nilai variabel kedua yang belum diketahui.
  • Penyelesaiannya adalah (x, y).
  • Kembali akan digunakan dua persamaan yang telah digunakan pada dua metode penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel di atas. Tujuannya adalah, agar sobat idschool dapat dengan mudah membandingkan hasil dan proses pengerjaanya.

    Diberikan dua persamaan dalam SPLDV:

    • 2x + 3y = 8 persamaan (i)
    • 3x + y = 5 persamaan (ii)

    Penyelesaian permasalahan SPLDV dengan metode gabungan (eliminasi – substitusi):

    Langkah 1: mencari nilai x dengan metode eliminasi

    Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV))

    Langkah 2: substitusi nilai x = 1 pada persamaan 2x + 3y = 8 (pilih salah satu, bebas, hasilnya akan sama)

        \[ 2x + 3y = 8\]

        \[ 2(1) + 3y = 8\]

        \[ 2 + 3y = 8\]

        \[ 3y = 8 - 2\]

        \[ 3y = 6 \]

        \[ y = \frac{6}{3} = 2 \]

    Langkah 3: penyelesaiannya adalah (x, y)

    Hasil yang diperoleh x = 1 dan y = 2, jadi penyelesaiannya adalah (1, 2).

    Kembali, kita peroleh hasil yang sama dengan penyelesaian SPLDV dengan dua metode di atas. Satu lagi metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan SPLDV yaitu metode grafik. Simak ulasannya pada bahasan di bawah.

    Baca Juga: Persamaan Linear Satu Variabel

    Metode Grafik

    Penyelesaian SPLDV dengan metode grafik dilakukan dengan menentukan koordinat titik potong dari kedua garis yang mewakili kedua persamaan linear. Sebelumnya, sobat idschool perlu belajar mengenai cara menggambar garis pada persamaan linear terlebih dahulu.

    Langkah-langkah menyelesaikan SPLDV dengan metode eliminasi:

    1. Menggambar garis yang mewakili kedua persamaan dalam bidang kartesius.
    2. Menemukan titik potong dari kedua grafik tersebut.
    3. Penyelesaiannya adalah (x, y).

    Perhatikan kembali dua persamaan yang digunakan pada metode – metode sebelumnya, yaitu:

    • 2x + 3y = 8 persamaan (i)
    • 3x + y = 5 persamaan (ii)

    Berikut ini penyelesaian SPLDV dengan metode grafik.

    Langkah 1: menggambar kedua grafik

    Menentukan titik potong pada kedua sumbu x dan y dari kedua persamaan.

    spldv

    Gambar garis lurus untuk kedua persamaan linear dalam bidang kartesius diberikan seperti gambar di bawah.

    Menyelesaikan SPLDV dengan Metode Grafik

    Langkah 2: menemukan titik potong dari kedua grafik tersebut.

    spldv metode grafik

    Langkah 3: penyelesaiannya adalah (x, y)

    Berdasarkan gambar dapat diketahui bahwa titik potong berada pada x = 1 dan y = 2, jadi penyelesaiannya adalah (1, 2).

    Dengan metode grafik, diperoleh pula hasil yang sama dengan metode substitusi, metode eliminasi, dan metode gabungan (substitusi – eliminasi). Berikutnya, simak contoh soal SPLDV yang digunakan untuk menyelesaikan permasalahan terkait sistem persamaan linear dua variabel pada contoh soal dan pembahasan berikut.

    Contoh Soal SPLDV dan Pembahasan

    Seorang tukang parkir mendapat uang sebesar Rp17.000,00 dari 3 buah mobil dan 5 buah motor, sedangkan dari 4 buah mobil dan 2 buah motor ia mendapat Rp18.000,00. Jika terdapat 20 mobil dan 30 motor, banyak uang parkir yang ia peroleh adalah …. (SOAL UN Matematika SMP 2016)
    A. Rp135.000,00
    B. Rp115.000,00
    C. Rp110.000,00
    D. Rp100.000,00

    Pembahasan:

    Misalkan:

    • Tarif parkir per mobil = x
    • Tarif parkir per motor = y

    Berdasarkan cerita pada soal, dapat diperoleh model matematika seperti di bawah.

    3x + 5y = 17.000
    4x + 2y = 18.000

    Kalikan persamaan pertama dengan 4 (empat) dan persamaan kedua dengan 3 (tiga). Hal ini digunakan untuk membuat salah satu variabelnya sama, sehingga bisa saling mengurangi.

    spldv metode eliminasi

    Berdasarkan perhitungan di atas, diperoleh nilai y = 1.000

    Substitusi nilai y = 1.000 pada salah satu persamaan yang diketahui, misalnya 3x + 5y =17.000 (pemilihan persamaan yang berbeda akan tetap menghasilkan hasil akhir sama).

    3x + 5y = 17.000
    3x + 5(1.000) = 17.000
    3x + 5.000 = 17.000
    3x = 17.000 – 5.000
    3x = 12.000
    x = 12.000 : 3 = 4.000

    Hasil yang diperoleh adalah

    Uang parkir mobil = x = Rp.4.000,00
    Uang parkir motor = y = Rp.1.000,00

    Jadi, uang yang diperoleh untuk 20 mobil dan 30 motor adalah
    = 20 x Rp4.000,00 + 30 x Rp1.000,00
    = Rp80.000,00 + Rp30.000,00
    = Rp110.000,00

    Jawaban: C

    Demikianlah tadi ulasan materi sistem persamaan linear dua variabel atau yang sering disingkat sebagai SPLDV. Meliputi penyelesaian SPLDV dengan metode substitusi, metode eliminasi, metode gabungan (eliminasi – substitusi), dan metode grafik. Pada bagian akhir juga diberikan contoh soal SPLDV beserta dengan pembahasannya. Terimakasih sudah mengunjungi idschool(dot)net, semoga bermanfaat,

    Bava Juga: Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel – SPLTV