Irisan Kerucut (Elips)

By | April 15, 2018

Sebuah kerucut yang diiris dari beberapa sudut dapat menghasilkan bentuk lingkaran, elips, hiperbola, dan parabola. Kerucut yang diiris mendatar akan membentuk lingkarab. Sedangkan kerucut yang diiris dengan kemiringan sudut tertentu akan membentuk bangun elips. Selanjutnya, irisan kerucut elips akan menjadi topik pembahasan tersendiri pada materi irisan kerucut.

Ulasan materi yang berada pada pembahasan elips meliputi bentuk umum persamaan elips. Selain itu, pembahasan juga meliputi komponen – komponen elips yang terdiri atas puncak elips, loctus rectum, sumbu mayor, sumbu minor, dan lain sebagainya.

Persamaan elips dipengaruhi pusat elips, sumbu mayor elips, dan sumbu minor elips. Persamaan elips dengan pusat O(0, 0) tentu akan memliki bentuk persamaan yang berbeda dengan elips pada pusat P(a, b). Melalui halaman ini, sobat idschool akan mempelajari lebih jauh lagi tentang peresamaan elips ini. Pada bagian akhir akan diulas cara menentukan persamaan elips dari sebuah gambar elips yang diketahui.

Sebelum membahas lebih lanjut tentang persamaan elips dalam irisan kerucut elips, ingat kembali komponen-komponen yang terdapat pada irisan kerucut elips seperti yang diberikan pada gambar di bawah.

Irisan Kerucut Elips

Sudah cukup jelas bukan komponen-komponen irisan kerucut (elips) yang diberikan di atas? Berikutnya, akan dibahas ulasan pertama yaitu bentuk umum persamaan elips.

 

Bentuk Umum Persamaan Elips

Bentuk elips seperti lingkaran yang dipipihkan. Elips dibedakan menjadi dua, yaitu elips horizontal dan elips vertikal. Jika lingkaran dipihkan dari atas dan bawah maka akan terbentuk elips horizontal. Sedangkan lingkaran yang dipipihkan dari samping kanan dan kiri akan membentuk elips vertikal. Salah satu faktor penentu bentuk persamaan irisan kerucut elips adalah letak pusatnya.

Bentuk persamaan umum elips akan diberikan dalam dua topik pembahasan. Peratama adalah persamaan elips dengan pusat O(0, 0). Kedua adalah persamaan elips dengan pusat P(a, b).

Berikut ini adalah bentuk umum persamaan parabola dengan pusat O(0, 0).

Persamaan Elips Pusat O

Tidak jauh berbeda dengan persamaan elips dengan pusat O(0, 0). Persamaan elips pada P(a, b) deiberikan seperti tabel di bawah.

Persamaan Elips Pusat P

Secara lebih lengkap, informasi lebih detail mengenai irisan kerucut elips dapat disimak melalui halaman ini.

Demikianlah persamaan irisan kerucut elips yang terdiri dari beberapa bentuk persamaan umum, berdasarkan letak titik pusatnya adan jenis elipsnya. Berikutnya, akan diulas cara menggambar elips jika diketahui persamaan elips dan cara menentukan persamaan elips jika diketahui gambar elips.

 

Cara Menggambar Persamaan Elips

Pembahasan di sini akan mengulas cara menggambar elips jika diketahui sebuah bentuk umum persamaan elips. Bentuk umum persamaan elips yang diberikan di atas akan menjadi patokan untuk membuat gambar elips.

Contoh soal menggambar elips:

Diketahui persamaan elips:

    \[ 4x^{2} + 9y^{2} + 16x - 18 y - 11 = 0 \]

Bagaimanakah gambar elips yang sesuai dengan persamaan di atas?

Ubah bentuk persamaan elips yang diketahui pada soal menjadi bentuk umum persamaan elips. Tujuannya untuk mempermudah menentukan letak titik pusat, sumbu mayor, dan sumbu minor. Caranya dapat disimak pada langkah di bawah.

    \[ 4x^{2} + 9y^{2} + 16x - 18 y - 11 = 0 \]

    \[ 4x^{2} + 16x + 16 + 9y^{2}  - 18 y + 9 =  11 + 16 + 9 \]

    \[ 4 \left( x^{2} + 4x + 4 \right) + 9 \left( y^{2}  - 2 y + 1 \right) =  11 + 16 + 9 \]

    \[ 4 \left( x + 2 \right)^{2} + 9 \left( y  - 1 \right)^{2} =  36 \]

    \[ \frac{ 4 \left( x + 2 \right)^{2}}{36} + \frac{ 9 \left( y  - 1 \right)^{2}}{36} = 1 \]

    \[ \frac{ \left( x + 2 \right)^{2}}{9} + \frac{ \left( y  - 1 \right)^{2}}{4} = 1 \]

Melalui bentuk persamaan elips seperti yang diperoleh pada hasil akhir di atas, dapat disimpulkan seperti berikut.

Persamaan Elips

Sehingga, gambar elips yang sesuai dengan persamaan pada soal adalah seperti berikut.

Contoh Soal Persamaan Elips

Bagaimana? Sudah cukup jelas dengan cara menggambar elips pada ulasa di atas? Berikutnya, akan diulas cara menentukan persamaan elips dari sebuah gambar elips yang diketahui. Simak ulasan yang akan diberikan di bawah.

 

Cara Menentukan Persamaan Elips

Dalam beberapa pembahasan, terdapat soal yang menanyakan suatu persamaan jika diketahui sebuah gambar elips. Cara menentukan persamaan elips tersebut dapat secara mudah ditentukan dengan melihat bagian-bagian yang diketahui pada gambar elips. Selain itu, sobat idschool juga perlu mengetahui bentuk umum persamaan elips yang telah diberikan di atas.

Carilah bentuk persamaan irisan kerucut elips untuk gambar di bawah!

Cara Menentukan Persamaan Elips

Untuk mendapatkan persamaan elips, pertama cari tahu terlebih dahulu informasi yang dapat diperoleh dari gambar elips pada soal. Informasi yang dapat diperoleh dari gambar elips yang diberikan pada soal meliputi pusat elips P(4, 5), bentuk elips vertikal, sumbu mayornya adalah 8, dan sumbu minornya adalah 4.

Bentuk umum persamaan irisan kerucut elips vertikal untuk pusat P(a, b), sumbu mayor p, dan sumbu minor q adalah.

    \[ \frac{ \left( x - a \right)^{2}}{ \frac{1}{2}q^{2}} + \frac{ \left( y - b \right)^{2}}{\frac{1}{2} p^{2}} = 1 \]

Sehingga, persamaan elips yang sesuai dengan soal yang diberikan adalah seperti berikut.

    \[ \frac{ \left( x - 4 \right)^{2}}{2^{2}} + \frac{ \left( y - 5 \right)^{2}}{4^{2}} = 1 \]

    \[ \frac{ \left( x - 4 \right)^{2}}{4} + \frac{ \left( y - 5 \right)^{2}}{16} = 1 \]

Selesai, diperoleh persamaan elips yang sesuai pada soal diberikan pada persamaan di atas.

Demikianlah ulasan tentang irisan kerucut elips. Terimakasih sudah mengunjungi idschool(dot)net, semoga bermanfaat.