Kedudukan Titik Terhadap Elips

By | March 28, 2018

Sebuah elips yang terletak pada bidang kartesius memiliki persamaan umum elips. Persamaan tersebut merupakan representasi elips dalam sebuah persamaan. Ulasan materi pada halaman ini, akan dibahas kedudukan titik terhadap elips, yang meliputi di dalam elips, pada elips, dan di luar elips.

Sebelumnya, bayangkan sebuah elips dan sebuah titik yang terletak pada bidang kartesius yang sama. Kedudukan titik pada elips tersebut pastinya akan membentuk sebuah hubungan. Hubungan tersebut dapat berupa kedudukan titik di dalam elips, kedudukan titik pada elips, dan kedudukan titik di luar elips. Seperti terlihat pada gambar di bawah.

kedudukan titik terhadap elips

Jika melihat ketiga gambar di atas, dapat secara mudah disimpulkan bahwa

  1. Gambar 1: titik berada di dalam elips
  2. Gambar 2: titik berada pada elips
  3. Gambar 3: titik berada di luar elips

Dengan melihat kedudukan titik pada elips melalui gambar, akan secara mudah ditentukan kedudukan titik terhadap elips. Namun, bagaimana jika yang diketahui hanya persamaan elips dan letak koordinat sebuah titik?

kedudukan titik pada elips

Menentukan kedudukan titik terhadap elips dengan cara menggambarkan elips dari persamaan yang diketahui kemudian melihat letak titik lingkaran yang diketahui letak koordinatnya, tentu bukan merupakan cara yang efektif.

Melalui halaman ini, sobat idschool akan belajar menentukan kedudukan titik terhadap elips yang diketahui persamaannya dan sebuah titik yang diketahui letak koordinatnya. Pastinya, tanpa menggambarkannya terlebih dahulu pada bidang kartesius.

Baca Juga: Kedudukan titik terhadap lingkaran

 

Kedudupan Titik di Dalam Elips

Ulasan yang pertama akan dibahas adalah kriteris titik yang terletak di dalam elips. Sebuah titik akan terletak di dalam elips jika hasil hitung dari substitusi nilai titik ke persamaan elips menghasilkan nilai kurang dari satu. Lebih jelasnya perhatikan kriteria di bawah.

titik terletak pada elips

Contoh 1 soal menentukan kedudukan titik terhadap elips

Tentukan kedudukan titik (1, 1) pada elips dengan persamaan berikut!

    \[ \frac{\left( x - 1 \right)^{2}}{9} + \frac{\left( y + 3 \right)^{2}}{25} = 1 \]

Pembahasan:

Substitusi titik (1, 1) pada persamaan elips, sehingga akan diperoleh perhitungan sebagai berikut.

    \[ \frac{\left( x - 1 \right)^{2}}{9} + \frac{\left( y + 3 \right)^{2}}{25} \]

    \[ = \frac{\left( 1 - 1 \right)^{2}}{9} + \frac{\left( 1 + 3 \right)^{2}}{25} \]

    \[ = \frac{ 0^{2}}{9} + \frac{4^{2}}{25} \]

    \[ = \frac{0}{9} + \frac{16}{25} \]

    \[ = 0 + \frac{16}{25} \]

    \[ = \frac{16}{25} \]

Diperoleh hasil perhitungannya adalah \frac{16}{25}, nilainya kurang dari satu (< 1 ). Sehingga, tanpa menggambarnya terlebih dahulu, dapat disimpulkan bahwa titik (1, 1) terletak di dalam elips.

Untuk melihat kebenarannya, perhatikan gambar elips dan letak titik sesuai pada soal yang diberikan.

titik terletak di dalam elips

Terlihat bahwa titik terletak di dalam elips. Selanjutnya adalah letak titik terhadap elips untuk kasus ke dua, yaitu titik terletak pada elips.

 

Kedudukan Titik pada Elips

Kriteria kedua adalah letak titik berada pada garis elips. Kedudukan titik pada elips akan terletak di dalam elips jika hasil hitung dari substitusi nilai titik ke persamaan elips menghasilkan nilai sama dengan satu. Lebih jelasnya perhatikan kriteria di bawah.

Kriteria titik terletak pada elips

Contoh2 soal menentukan kedudukan titik terhadap elips

Tentukan kedudukan titik (4, -3) pada elips dengan persamaan barikut!

    \[ \frac{\left( x - 1 \right)^{2}}{9} + \frac{\left( y + 3 \right)^{2}}{25} = 1 \]

Pembahasan:

Substitusi titik (4, -3) pada persamaan elips, sehingga akan diperoleh perhitungan sebagai berikut.

    \[ \frac{\left( x - 1 \right)^{2}}{9} + \frac{\left( y + 3 \right)^{2}}{25} \]

    \[ = \frac{\left( 4 - 1 \right)^{2}}{9} + \frac{\left( -3 + 3 \right)^{2}}{25} \]

    \[ = \frac{ 3^{2}}{9} + \frac{0}{25} \]

    \[ = \frac{9}{9} + 0 \]

    \[ = \frac{9}{9} = 1 \]

Diperoleh hasil perhitungannya adalah 1 (satu). Berdasarkan kriteria kedudukan titik terhadap elips, dan tanpa menggambarnya terlebih dahulu, akan diperoleh kesimpulan bahwa titik (4, -3) terletak pada elips.

Untuk melihat kebenarannya, perhatikan gambar elips dan letak titik sesuai pada soal yang diberikan.

titik terletak pada elips

Terlihat bahwa titik terletak pada elips. Selanjutnya adalah letak titik terhadap elips untuk kasus ke tiga, yaitu titik terletak di luar elips.

 

Kedudupan Titik di Luar Elips

Berikutnya adalah kriteria kedudukan titik terhadap elips yang terakhir akan dibahas di sini, yaitu letak titik di luar elips. Kedudukan titik di luar elips akan terjadi jika hasil hitung dari substitusi nilai titik ke persamaan elips menghasilkan nilai lebih dari satu. Lebih jelasnya perhatikan kriteria di bawah.

Kriteria titik terletak di luar elips

Contoh 3 soal menentukan kedudukan titik terhadap elips

Substitusi titik (3, 6) pada persamaan elips, sehingga akan diperoleh perhitungan sebagai berikut.

    \[ \frac{\left( x - 1 \right)^{2}}{9} + \frac{\left( y + 3 \right)^{2}}{25} \]

    \[ = \frac{\left( 3 - 1 \right)^{2}}{9} + \frac{\left( 6 + 3 \right)^{2}}{25} \]

    \[ = \frac{ 2^{2}}{9} + \frac{9^{2}}{25} \]

    \[ = \frac{4}{9} + \frac{81}{25} \]

    \[ = \frac{100}{225} + \frac{729}{225} \]

    \[ = \frac{829}{225} \]

    \[ = 3 \frac{154}{225} \]

Diperoleh hasil perhitungannya adalah 3 \frac{154}{225}, nilainya lebih dari satu (> 1 ). Sehingga, tanpa menggambarnya terlebih dahulu, dapat disimpulkan bahwa titik (3, 6) terletak di luar elips.

Untuk melihat kebenarannya, perhatikan gambar elips dan letak titik sesuai pada soal yang diberikan.

titik terletak di luar elips

Terlihat bahwa titik terletak di luar elips.

 

Rangkuman kesimpulan dari tiga kriteria kedudukan titik terhadap elips dapat dilihat pada tabel di bawah.

kedudukan titik terhadap elips

Sekian pembahasan mengenai kedudukan titik terhadap elips. Terimakasih sudah mengunjungi idschool(dot)net, semoga bermanfaat.