Menyelesaikan Persamaan Trigonometri

By | March 9, 2018

Salah satu pembahasan pada materi trigonometri adalah menyelesaikan persamaan trigonometri. Biasanya, soal yang diberikan pada persamaan trigonometri adalah untuk menentukan himpunan penyelesaian yang terdiri atas sudut-sudut yang memenuhi persamaan trigonometri. Sebagaimana yang sobat idschool ketahui bahwa bentuk grafik fungsi trigonometri bersifat periodik. Bentuknya akan berulang sama pada rentang tertentu. Sehingga, nilai fungsi trigonometri dari sebuah persamaan tidak hanya memiliki nilai tunggal.

Misalkan pada fungsi Sin \; x = \frac{1}{2}, nilai x yang memenuhi tidak hanya 30^{o} sebagaimana yang diktahui bahwa nilai Sin \; 30^{o} = \frac{1}{2}. Selain besar sudut 30^{o} yang dapat memenuhi persamaan Sin \; x = \frac{1}{2}, ada nilai lain yang dapat memenuhi persamaan tersebut. Salah satu nilai, selain x = 30^{o}, yang dapat memenuhi persamaan Sin \; x = \frac{1}{2} adalah x=150^{o}.

Melalui halaman ini, sobat idschool dapat mempelajari cara menyelesaikan persamaan trigonometri dan menentukan semua himpunan penyelesaian yang memenuhi syarat yang diberikan pada soal.

Secara ringkas, persamaan trigonometri untuk menentukan besar semua sudut yang memenuhi dapat dilihat melalui tabel di bawah.

menyelesaikan persamaan trigonometri

Simak penjelasan lebih lanjutnya pada uraian materi persamaan trigonometri yang akan dibahas di bawah. Pembahasan pertama yang akan diberikan adalah menyelesaikan persamaan trigonometri untuk fungsi sinus.

 

Bentuk Persamaan Trigonometri Fungsi Sinus

Grafik fungsi sinus bersifat periodik, membentuk bukit dan lembah. Oleh sebab itu, nilai fungsi sinus untuk satu besar sudut akan sama dengan nilai fungsi sinus untuk besar sudut lain. Misalkan nilai fungsi Sin \; 45^{o} yang sama nilainya dengan nilai fungsi Sin \; 135^{o}, yaitu \frac{1}{2} \sqrt{2}.

Satu periode fungsi sinus dasar dimulai dari 0 (nol) dan kembali ke 0 (nol). Nilai tertinggi fungsi y = Sin \; x adalah 1 dan nilai terendahnya adalah -1.

Secara umum, persamaan trigonometri untuk fungsi sinus diberikan seperti persamaan di bawah.

persamaan trigonometri sinus

Contoh soal menyelesaikan persamaan trigonometri untuk fungsi sinus.

Tentukan himpunan pennyelesaian yang memenuhi persamaan di bawah.

    \[ 2 Sin \left( 2x - 60^{o} \right) - \sqrt{3} = 0, \; 0 \leq x \leq 360^{o} \]

Pembahasan:

    \[ 2 \; Sin \left( 2x - 60^{o} \right) - \sqrt{3} = 0 \]

    \[ 2 \; Sin \left( 2x - 60^{o} \right) = \sqrt{3} \]

    \[ Sin \left( 2x - 60^{o} \right) = \frac{1}{2} \sqrt{3} \]

Berdasarkan hasil persamaan akhir yang diperoleh di atas, maka dapat ditentukan himpunan penyelesaiannya.

    \[ 2x - 60^{o} = 60^{o} + k \cdot 360^{o} \]

    \[ 2x = 60^{o} + 60^{o}  + k \cdot 360^{o} \]

    \[ 2x = 120^{o} + k \cdot 360^{o} \]

    \[ x = 60^{o} + k \cdot 180^{o} \]

Atau

    \[ 2x - 60^{o} = \left(180^{o} - 60^{o} \right) + k \cdot 360^{o} \]

    \[ 2x - 60^{o} = 120 + k \cdot 360^{o} \]

    \[ 2x = 120^{o} + 60^{o} + k \cdot 360^{o} \]

    \[ 2x = 180^{o} + k \cdot 360^{o} \]

    \[ x = 90^{o} + k \cdot 180^{o} \]

Diperoleh dua persamaan akhir yaitu x = 60^{o} + k \cdot 180^{o} atau x = 90^{o} + k \cdot 180^{o}.

Selanjutnya, akan diselidiki pada beberapa nilai k untuk mendapatkan himpunan penyelesaiannya.

Untuk k = 0

    \[ x = 60^{o} + k \cdot 180^{o} \rightarrow x = 60^{o} \]

    \[ x = 90^{o} + k \cdot 180^{o} \rightarrow x = 90^{o} \]

Untuk k = 1

    \[ x = 60^{o} + k \cdot 180^{o} \rightarrow x = 240^{o} \]

    \[ x = 90^{o} + k \cdot 180^{o} \rightarrow x = 270^{o} \]

Untuk nilai k = 2 dan lebih akan menghasilkan nilai x yang lebih dari 360^{o}, sehingga perhitungan dicukupkan sampai nilia k = 1.

Jadi, himpunan penyelesaian yang diperoleh adalah

    \[ \textrm{HP} = \left \{60^{o}, 90^{o}, 240^{o}, 270^{o} \right \} \]

 

Bentuk Persamaan Trigonometri Fungsi Cosinus

Pembahasan berikutnya adalah menyelesaikan masalah persamaan trigonometri untuk fungsi cosinus.

Grafik fungsi cosinus juga bersifat periodik, membentuk bukit dan lembah. Bedanya terletak pada awal mulainya. Pada satu periode pada fungsi sinus dasar y = Sin \; x dimulai dari 0 (nol) dan kembali ke 0 (nol). Sedangkan pada satu periode fungsi cosinus dasar y = Cos \; x dimulai dari 1 (satu) dan kembali ke 1 (satu). Nilai tertinggi fungsi y = Cos \; x adalah 1 dan nilai terendahnya adalah -1.

Nilai fungsi cosinus untuk satu besar sudut akan sama dengan nilai fungsi cosinus untuk besar sudut lain. Misalkan nilai fungsi Cos \; 60^{o} yang sama nilainya dengan nilai fungsi Cos \; 300^{o}, yaitu \frac{1}{2}.

Secara umum, persamaan trigonometri untuk fungsi cosinus diberikan seperti persamaan di bawah.

Persamaan Trigonometri Fungsi Cosinus

Contoh soal menyelesaikan persamaan trigonometri untuk fungsi cosinus.

Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan di bawah.

    \[ 2 \; Cos \; x -  \sqrt{3} = 0, \;  0 \leq x \leq 360^{o} \]

Pembahasan:

    \[ 2 \; Cos \; x = \sqrt{3} \]

    \[ Cos \; x = \frac{1}{2} \sqrt{3} \]

    \[ Cos \; x = Cos \; 30^{o} \]

Berdasarkan rumus umum persamaan trigonometri untuk fungsi cosinus diperoleh dua persamaan berikut.

    \[ x_{1} = 30^{o} + k \cdot 360^{o} \]

    \[ x_{2} = 150^{o} + k \cdot 360^{o} \]

Selanjutnya, akan diselidiki untuk beberapa nilai k.

Untuk k = 0:

    \[ x_{1} = 30^{o} + k \cdot 360^{o} \rightarrow 30^{o} \]

    \[ x_{2} = 150^{o} + k \cdot 360^{o} \rightarrow 150^{o} \]

Untuk nilai k = 1 atau lebih akan menghasilkan nilai x yang melebihi rentang yang diberikan. Sehingga, perhitungan sampai di sini. Dan diperoleh himpunan penyelesaian yang di cari, yaitu

    \[ HP = \left \{ 30^{o}, \; 150^{o} \right \} \]

 

Bentuk Persamaan Trigonometri Fungsi Tangen

Grafik fungsi tangen berbeda dengan grafik fungsi sinus dan cosinus, grafiknya tidak membentuk bukit dan lembah. Hal ini dikarenakan nilai tangen yang tidak terdefinisi pada besar sudut 90^{o} dan 270^{o}. Sehingga, dalam rentang 0^{o} sampai 360^{o} terdapat dua buah asimtot.

Sama seperti fungsi sinus dan cosinus, nilai tertinggi fungsi y = Tan \; x adalah 1 dan nilai terendahnya adalah -1.

Secara umum, persamaan trigonometri untuk fungsi cosinus diberikan seperti persamaan di bawah.

persamaan trigonometri fungsi tangen

Contoh soal menyelesaikan persamaan trigonometri untuk fungsi tangen.

Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan di bawah.

Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan di bawah.

    \[ Tan \left( 60 - \frac{1}{2}x \right) = Cot \left( x + 120^{o} \right), \; 0 \leq x \leq 360^{o} \]

Pembahasan:

    \[ Tan \left( 60^{o} - \frac{1}{2}x \right) = Cot \left( x + 120^{o} \right) \]

    \[ Tan \left( 60^{o} - \frac{1}{2}x \right) = Tan \left( 90^{o} - \left( x + 120^{o} \right) \right) \]

    \[ Tan \left( 60^{o} - \frac{1}{2}x \right) = Tan \left( 90^{o} + - x - 120^{o} \right) \]

    \[ Tan \left( 60^{o} - \frac{1}{2}x \right) = Tan \left( - x - 30^{o} \right) \]

    \[ 60^{o}  - \frac{1}{2}x = - x - 30^{o} + k \cdot 180^{o} \]

    \[ x - \frac{1}{2}x =  - 30^{o} - 60^{o}  + k \cdot 180^{o} \]

    \[ \frac{1}{2}x =  - 90^{o} + k \cdot 180^{o} \]

    \[ x =  2 \left( - 90^{o} + k \cdot 180^{o} \right) \]

    \[ x =  - 180^{o} + k \cdot 360^{o} \]

Selanjutnya akan ditentukan nilai x yang memenuhi untuk beberapa nilai k.

Untuk k = 0:

    \[ x =  - 180^{o} + k \cdot 360^{o} \rightarrow x = -180^{o} \]

Nilai x dari hasil perhitungan di atas tidak memenuhi karena di luar rentang yang diberikan. Selanjutnya, akan diselidiki untuk nilai k = 1.

    \[ x =  - 180^{o} + k \cdot 360^{o} \rightarrow x = 180^{o} \]

Untuk nilai k = 2 atau lebih, akan menghasilkan nilai x yang berada di luar rentang. Sehingga hanya terdapat satu himpunan penyelesaian untuk x, yaitu

    \[ HP = \left \{180^{o} \right \} \]

Selain contoh soal menyelesaikan persamaan trigonometri yang telah diberikan di atas, terdapat variasi soal pengembangan dengan identitas trigonometri dan materi lain, misalnya persamaan fungsi kuadrat. Variasi contoh soal tersebut dapat dilihat pada kumpulan beberapa contoh soal menyelesaikan persamaan trigonometri yang diberikan di bawah.

 

Contoh Soal dan Pembahasan

Contoh 1

Diketahui:

    \[ Sin \; \alpha + Cos \; \alpha = \frac{1}{3}, \; 0^{o} \leq \alpha \leq 180^{o} \]

Maka nilai Sin \; \alpha - Cos \; \alpha adalah ….

    \[ \textrm{A.} \; \; \; \frac{1}{4} \sqrt{17} \]

    \[ \textrm{B.} \; \; \; \frac{1}{3} \sqrt{17} \]

    \[ \textrm{C.} \; \; \; \frac{1}{2} \sqrt{17} \]

    \[ \textrm{D.} \; \; \; \frac{2}{3} \sqrt{17} \]

    \[ \textrm{E.} \; \; \;  \sqrt{17} \]

Pembahasan:

    \[ Sin \; \alpha + Cos \; \alpha = \frac{1}{3} \]

    \[ \left( Sin \; \alpha + Cos \; \alpha \right) ^{2} = \left( \frac{1}{3} \right)^{2} \]

    \[ Sin^{2} \alpha + Cos^{2} \alpha + 2 \cdot Sin \; \alpha \cdot Cos \; \alpha = \frac{1}{9} \]

    \[ 1 + 2 \cdot Sin \; \alpha \cdot Cos \; \alpha = \frac{1}{9} \]

    \[ 2 \cdot Sin \; \alpha \cdot Cos \; \alpha = \frac{1}{9} - 1 \]

    \[ 2 \cdot Sin \; \alpha \cdot Cos \; \alpha = \frac{1}{9} - \frac{9}{9} \]

    \[ 2 \cdot Sin \; \alpha \cdot Cos \; \alpha = - \frac{8}{9} \]

Maka,

    \[ \left( Sin \; \alpha - Cos \; \alpha \right)^{2} = Sin^{2} \alpha + Cos^{2} \alpha - 2 \cdot Sin \; \alpha \cdot Cos \; \alpha \]

    \[ \left( Sin \; \alpha - Cos \; \alpha \right)^{2} = 1 - 2 \cdot Sin \; \alpha \cdot Cos \; \alpha \]

    \[ \left( Sin \; \alpha - Cos \; \alpha \right)^{2} = 1 - \left( - \frac{8}{9} \right) \]

    \[ \left( Sin \; \alpha - Cos \; \alpha \right)^{2} = 1 + \frac{8}{9} \]

    \[ \left( Sin \; \alpha - Cos \; \alpha \right)^{2} = \frac{17}{9} \]

    \[ Sin \; \alpha - Cos \; \alpha = \sqrt{ \frac{17}{9}} = \frac{1}{3} \sqrt{17} \]

Jawaban: B

 

Contoh 2

Tentukan himpunan penyelesaian dari Cos \; 2x + 7 Sin \; x - 4 = 0 dengan 0^{o} \leq x \leq 360^{o}!

    \[ \textrm{A.} \; \; \;  30^{o} \; \textrm{dan} \; 150^{o} \]

    \[ \textrm{B.} \; \; \; 30^{o} \; \textrm{dan} \; 135^{o} \]

    \[ \textrm{C.} \; \; \; 45^{o} \; \textrm{dan} \; 150^{o} \]

    \[ \textrm{D.} \; \; \; 60^{o} \; \textrm{dan}\; 150^{o} \]

    \[ \textrm{E.} \; \; \;  60^{o} \; \textrm{dan} \; 135^{o} \]

Pembahasan:

    \[ Cos \; 2x + 7 Sin \; x - 4 = 0 \]

    \[ 1 - 2 sin^{2}x + 7 sin \; x - 4 = 0 \]

    \[ - 2 sin^{2} x + 7 sin \; x - 3 = 0 \]

Misalkan: p = sin x, maka

    \[ - 2 p^{2} + 7 p - 3 = 0 \]

    \[ \left( 2p - 1 \right)\left( -p + 3 \right) = 0 \]

    \[ p = \frac{1}{2} \; \textrm{atau} \; p = -3 \]

Untuk p = \frac{1}{2}:

    \[ p = \frac{1}{2} \rightarrow sin x = \frac{1}{2} \]

    \[ x = 30^{o}, 150^{o} \]

Untuk p = -3 tidak ada nilai x yang memenuhi karena maksimal nilai pada fungsi trigonometri adalah 1 atau -1.

Sehingga, nilai x yang memenuhi adalah 30^{o} dan 150^{o}.

Jawaban: A

 

Contoh 3

Perhatikan persamaan di bawah!

    \[ - \sqrt{3} \; Cos \; x + Sin \; x = \sqrt{2}, \; 0^{o} < x < 360^{o} \]

Himpuanan penyelesaian persamaan trigonometri di atas adalah ….

    \[ \textrm{A.} \; \; \;  \left \{135^{o}, \; 215^{o} \right \} \]

    \[ \textrm{B.} \; \; \; \left \{105^{o}, \; 215^{o} \right \} \]

    \[ \textrm{C.} \; \; \; \left \{105^{o}, \; 195^{o} \right \} \]

    \[ \textrm{D.} \; \; \; \left \{135^{o}, \; 195^{o} \right \} \]

    \[ \textrm{E.} \; \; \;  \left \{105^{o}, \; 135^{o} \right \} \]

Pembahasan:

Ubah persamaan menjadi bentuk berikut ini.

    \[ a \; Cos x + b \; Sin x = k \; Cos \left( x - \alpha \right) \]

Menentukan nilai k:

    \[ k = \sqrt{a^{2} + b^{2}} \]

    \[ k = \sqrt{ \left( - \sqrt{3} \right) ^{2} + 1^{2}} \]

    \[ k = \sqrt{ 3 + 1} \]

    \[ k = \sqrt{4} = 2 \]

Menentukan nilai \alpha:

    \[ \alpha = arc \left( tan \left( \frac{b}{a} \right) \right) \]

    \[ = arc \left( tan \left( - \frac{1}{\sqrt{3}} \right) \right) \]

    \[ = 150^{o} \]

Sehingga,

    \[ - \sqrt{3} \; Cos \; x + Sin \; x = \sqrt{2} \]

    \[ 2 \; Cos \left( x - 150^{o} \right) = \sqrt{2} \]

    \[ Cos \left( x - 150^{o} \right) = \frac{1}{2} \sqrt{2} \]

Diperoleh:

    \[ x - 150^{o} = 45^{o} + k \cdot 360^{o} \]

    \[ x = 195^{o} + k \cdot 360^{o} \]

atau

    \[ x - 150^{o} = -45^{o} + k \cdot 360^{o} \]

    \[ x = 105^{o} + k \cdot 360^{o} \]

Sekarang, akan dicari nilai x untuk beberapa nilai k.

Untuk k = 0:

    \[ x = 195^{o} + k \cdot 360^{o} \rightarrow x = 195^{o} \]

    \[ x = 105^{o} + k \cdot 360^{o} \rightarrow x = 105^{o} \]

Untuk k = 1 dan seterusnya akan menghasilkan nilai di atas 360^{o}. Nilainya tidak dicari karena tidak termasuk dalam himpunan penyelesaian.

p>Jadi, Himpunan penyelesaiannya adalah

    \[ \textrm{HP} = \left \{105^{o}, \; 195^{o} \right \} \]

Jawaban: C

Sekian pembahasan mengenai menyelesaikan persamaan trigonometri. Terimakasih sudah mengunjungi idschool(dot)net, semoga bermanfaat.

Baca Juga: Aturan Cosinus (Materi dan Contoh Soal + Pembahasan)